Question

如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，D是AB延長線上一點，AE⊥DC交DC的延長線于點E，且AC平分∠EAB．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若AB=6，AE=，求BD和BC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證DE是⊙O的切線，只要連接OC，再證∠DCO=90°即可．
（2）已知兩邊長，求其它邊的長，可以來三角形相似，對應邊成比例來求．
解答：（1）證明：連接OC；
∵AC平分∠EAB，
∴∠EAC=∠BAC；
又在圓中OA=OC，
∴∠AC0=∠BAC，
∴∠EAC=∠ACO，
∴OC∥AE（內錯角相等，兩直線平行）；
則由AE⊥DC知OC⊥DC，
即DC是⊙O的切線．

（2）解：∵∠D=∠D，∠E=∠OCD=90°，
∴△DCO∽△DEA，
∴=，
∴=，
∴=，
∴BD=2；
∵Rt△EAC∽Rt△CAB，
∴，
∴
∴AC²=，
由勾股定理得：
BC=．
點評：本題考查了切線的判定、相似三角形的性質和勾股定理的運用．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．