Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經過三點．

1.求過三點拋物線的解析式并求出頂點的坐標；v

2.在拋物線上是否存在點，使為直角三角形，若存在，直接寫出點

坐標；若不存在，請說明理由；v

3.試探究在直線上是否存在一點，使得的周長最小，若存在，求

出點的坐標；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

 

1.拋物線的解析式為 ，頂點

2.見解析。

3.見解析。

解析:解：（1）直線與軸交于點，與軸交于點．

， ， ……………………（2分）

點都在拋物線上，

   ……………………（4分）

拋物線的解析式為 ，頂點 …………（6分）

（2）存在，。……………………（8分）

（3）存在……………………（9分）

理由：解法一：

延長到點，使，連接交直線于點，則點就是所求的點．

                      

過點作于點．

點在拋物線上，

在中，，

，，在中，，

，， ……………………（12分）

設直線的解析式為

   解得  ………………（13分）

   解得 

在直線上存在點，使得的周長最小，此時．…14分

                                                  

解法二：

過點作的垂線交軸于點，則點為點關于直線的對稱點．連接交于點，則點即為所求．

過點作軸于點，則，．

，

同方法一可求得．

在中，，，可求得，

為線段的垂直平分線，可證得為等邊三角形，

垂直平分．

即點為點關于的對稱點．……………………（12分）

設直線的解析式為，由題意得

   解得      ……………………（13分）

   解得 

在直線上存在點，使得的周長最小，此時．