Question

（2012•石景山區二模）閱讀下面材料：
小陽遇到這樣一個問題：如圖（1），O為等邊△ABC內部一點，且OA：OB：OC=1：

2

：

3

，求∠AOB的度數．

小陽是這樣思考的：圖（1）中有一個等邊三角形，若將圖形中一部分繞著等邊三角形的某個頂點旋轉60°，會得到新的等邊三角形，且能達到轉移線段的目的．他的作法是：如圖（2），把△ACO繞點A逆時針旋轉60°，使點C與點B重合，得到△ABO′，連接OO′．則△AOO′是等邊三角形，故OO′=OA，至此，通過旋轉將線段OA、OB、OC轉移到同一個三角形OO′B中．
（1）請你回答：∠AOB=

150

°．
（2）參考小陽思考問題的方法，解決下列問題：
已知：如圖（3），四邊形ABCD中，AB=AD，∠DAB=60°，∠DCB=30°，AC=5，CD=4．求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析：（1）利用△AOO′是等邊三角形，得出∠AOO′=60°，再利用已知得出OO′²+BO²=OC²，即可求出∠BOO′=90°，即可得出答案；
（2）首先將△ADC繞點A順時針旋轉60°，使點D與點B重合，得到△ABO，連接CO，進而求出△ACO是等邊三角形，再由S_{四邊形ABCD}=S_△ACO-S_△BCO，求出即可．

解答：解：（1）∵△AOO′是等邊三角形，
∴∠AOO′=60°，
∵OA：OB：OC=1：

2

：

3

，
∴設OA=x，則OB=

2

x，OC=

3

x，
∵CO=O′B，OO′=AO，
∴OO′²+BO²=x²+（

2

x）²=3x²，
OC²=3x²，
∴OO′²+BO²=OC²，
∴△BOO′是直角三角形，
∴∠BOO′=90°，
∴∠AOB=∠BOO′+∠AOO′=90°+60°=150°．
故答案為：150°；

（2）如圖，將△ADC繞點A順時針旋轉60°，使點D與點B重合，
得到△ABO，連接CO．
∵AC=AO，∠CAO=60°，
∴△ACO是等邊三角形，
可知CO=CA=5，BO=DC=4，∠ABO=∠ADC，
在四邊形ABCD中，∠ADC+∠ABC=360°-∠DAB-∠DCB=270°，
∴∠OBC=360°-（∠ABC+∠ABO）=360°-270°=90°．
∴BC=

52-42

=3，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ACO-S_△BCO
=

1

2

×5sin60°×5-

1

2

×3×4
=

25 3

4

-6．

點評：此題主要考查了旋轉的性質以及勾股定理的逆定理和等邊三角形的判定以及四邊形、三角形面積求法等知識，得出∠OBC等于90°是解題關鍵．