Question

如圖，Rt△ABC中，∠CAB=90°，以AB為直徑作⊙O交BC于D，PD是⊙O的切線．若AM為⊙O的弦，連接PM，若AB=AC=4，AM=2，試在⊙O上標出點M并求PM長．

Answer 1

分析：作∠AOM=60°，使OM交于M，則AM=2，即M為所求，連接PM，作MH⊥AC于H，連接OD，利用直角三角形的性質和圓的切線性質和切線長定理即可判定四邊形PDOA為正方形，所以AP=AO=2，再利用勾股定理即可求出PM的值．

解答：解：∵AB=AC=4，以AB為直徑作⊙O，
∴A0=OM=2，
∵∠AOM=60°，
∴△AOM為等邊三角形，
∴AO=AM=2，
連接PM，作MH⊥AC于H，連接OD
∵PD是⊙O的切線，
∴∠PDO=90°，
∵∠CAB=90°，
∵AC是圓的切線，
∴PD=PA，
∵AO=DO，
∴四邊形AODP是正方形，
∴AO=AP=2，
∵∠MAO=60°，
∴∠PAM=90°-60°=30°，
∴MH=

1

2

AM=1，
∴AH=

3

，
∴PH=2-

3

，
∴PM=

PH 2+HM 2

=

(2- 3 )2+12

=2

2- 3

．
如圖，PH=2+

3

，
HM=1，
PM=

PH 2+HM 2

=

(2+ 3 )2+12

=2

2+ 3

．
故PM長為2

2- 3

或2

2+ 3

．

點評：本題綜合考查了等邊三角形的判定和等邊三角形的性質、圓的切線的判定和性質、正方形的性質以及含30度角的直角三角形的性質：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半和勾股定理的運用，題目的難度不小．