Question

某環(huán)形道路上順時(shí)針排列著4所中學(xué)：A₁，A₂，A₃，A₄，它們順次有彩電15臺(tái)，8臺(tái)，5臺(tái)，12臺(tái)．為使各校的彩電數(shù)相同，允許一些中學(xué)向相鄰中學(xué)調(diào)出彩電．問怎樣調(diào)配才能使調(diào)出的彩電臺(tái)數(shù)最小？并求調(diào)出彩電的最小總臺(tái)數(shù)．

Answer 1

設(shè)A₁中學(xué)調(diào)給A₂彩電x₁臺(tái)（若x₁＜0，則認(rèn)為是A₂，向A₁調(diào)出|x₁|臺(tái)），A₂中學(xué)調(diào)給A₃彩電x₂臺(tái)，A₃調(diào)給A₄x₃臺(tái)，A₄調(diào)給A₁x₄臺(tái)．
∵共有40臺(tái)彩電，平均每校10臺(tái)，
∴15-x₁+x₄=10，8-x₂+x₁=10，5-x₃+x₂=10，12-x₄+x₃=10，
∴x₄=x₁-5，x₁=x₂+2，x₂=x₃+5，x₃=x₄-2，x₃=（x₁-5）-2=x₁-7，x₂=（x₁-7）+5=x₁-2．
本題即求y=|x₁|+|x₂|+|x₃|+|x₄|=|x₁|+|x₁-2|+|x₁-7|+|x₁-5|的最小值，其中x₁是滿足-8≤x₁≤15的整數(shù)．
設(shè)x₁=x，并考慮定義在-8≤x≤15上的函數(shù)：y=|x|+|x-2|+|x-7|+|x-5|，
當(dāng)2≤x≤5時(shí)，y取最小值10，
即當(dāng)x₁=2，3，4，5時(shí)，|x₁|+|x₁-2|+|x₁-7|+|x₁-5|取到最小值10．
從而調(diào)出彩電的最小臺(tái)數(shù)為10，調(diào)配方案有如下4種：