Question

如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax²＋c與x軸正半軸交于點F(16，0)、與y軸正半軸交于點E(0，16)，邊長為16的正方形ABCD的頂點D與原點O重合，頂點A與點E重合，頂點C與點F重合；

(1)求拋物線的函數表達式；

(2)如圖2，若正方形ABCD在平面內運動，并且邊BC所在的直線始終與x軸垂直，拋物線始終與邊AB交于點P且同時與邊CD交于點Q(運動時，點P不與A、B兩點重合，點Q不與C、D兩點重合)．設點A的坐標為(m，n)(m＞0)．①當PO＝PF時，分別求出點P和點Q的坐標；②在①的基礎上，當正方形ABCD左右平移時，請直接寫出m的取值范圍；③當n＝7時，是否存在m的值使點P為AB邊中點．若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

@@[解](1)由拋物線y＝ax2＋c經過點E(0，16)、F(16，0)得：，解得a＝－，c＝16， 　　∴y＝－x2＋16； @@(2)①過點P做PG^ x軸于點G，∵PO＝PF，∴OG＝FG，∵F(16，0)，∴OF＝16， 　　∴OG＝OF＝´ 16＝8，即P點的橫坐標為8，∵P點在拋物線上， 　　∴y＝－´ 82＋16＝12，即P點的縱坐標為12，∴P(8，12)， 　　∵P點的縱坐標為12，正方形ABCD邊長是16，∴Q點的縱坐標為－4， 　　∵Q點在拋物線上，∴－4＝－x2＋16，∴x1＝8，x2＝－8， 　　∵m＞0，∴x2＝－8(舍去)，∴x＝8，∴Q(8，－4)； 　　②8－16＜m＜8； 　　③不存在； 　　理由：當n＝7時，則P點的縱坐標為7，∵P點在拋物線上，∴7＝－x2＋16， 　　∴x1＝12，x2＝－12，∵m＞0，∴x2＝－12(舍去)，∴x＝12，∴P點坐標為(12，7)， 　　∵P為AB中點，∴AP＝AB＝8，∴點A的坐標是(4，7)，∴m＝4， 　　又∵正方形ABCD邊長是16，∴點B的坐標是(20，7)， 　　點C的坐標是(20，－9)，∴點Q的縱坐標為－9，∵Q點在拋物線上， 　　∴－9＝－x2＋16，∴x1＝20，x2＝－20，∵m＞0，∴x2＝－20(舍去)，x＝20， 　　∴Q點坐標(20，－9)，∴點Q與點C重合，這與已知點Q不與點C重合矛盾， 　　∴當n＝7時，不存在這樣的m值使P為AB邊的中點．