Question

在平面直角坐標系中．過一點分別作坐標軸的垂線，若與坐標軸圍成矩形的周長與面積相等，則這個點叫做和諧點．例如．圖中過點P分別作x軸，y軸的垂線．與坐標軸圍成矩形OAPB的周長與面積相等，則點P是和諧點．
（1）判斷點M（1，2），N（4，4）是否為和諧點，并說明理由；
（2）若和諧點P（a，3）在直線y=-x+b（b為常數）上，求a，b的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）計算1×2≠2×（1+2），4×4=2×（4+4）即可；
（2）當a＞0時，根據（a+3）×2=3a，求出a，進一步求出b；當a＜0時，根據（-a+3）×2=-3a求出a進一步求出b．
解答：解：（1）∵1×2≠2×（1+2），4×4=2×（4+4），
∴點M不是和諧點，點N是和諧點．

（2）由題意得：①當a＞0時，（a+3）×2=3a，
∴a=6，
點P（a，3）在直線 y=-x+b上，代入得：b=9
②當a＜0時，（-a+3）×2=-3a，
∴a=-6，
點P（a，3）在直線y=-x+b上，代入得：b=-3，
∴a=6，b=9或a=-6，b=-3．
點評：本題主要考查對一次函數圖象上點的坐標特征，三角形的面積等知識點的理解和掌握，理解題意并根據題意進行計算是解此題的關鍵．