Question

如圖，在平面直角坐標系xoy中，點A（1，0），點B（3，0），點，直線l經過點C，
（1）若在x軸上方直線l上存在點E使△ABE為等邊三角形，求直線l所表達的函數關系式；
（2）若在x軸上方直線l上有且只有三個點能和A、B構成直角三角形，求直線l所表達的函數關系式；
（3）若在x軸上方直線l上有且只有一個點在函數的圖形上，求直線l所表達的函數關系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）若△ABE為等邊三角形，由等邊三角形的性質可求E點坐標，用“兩點法”求直線l解析式；
（2）分別過A、B兩點作x軸的垂線，與直線l相交，可得兩個直角三角形，若直線l上有一點F（2，1），可得△ABF為等腰直角三角形，用“兩點法”求直線l解析式；
（3）①當直線l∥x軸時，直線l與函數的圖形有一個交點，②當直線l與x軸不平行時，設直線l解析式為y=kx+，與函數聯立解方程組，得出唯一解時k的值即可．
解答：解：（1）當直線l上存在一點E，使△ABE為等邊三角形時，E（2，），
設直線l解析式為y=kx+，
將E（2，），代入2k+=，
解得k=-，
∴直線l解析式為（4分）

（2）當在x軸上方直線l上有且只有三個點能和A、B構成直角三角形時，
設直線l上的點為F，則A、B、F都可能作為直角頂點，
當F為直角頂點時，△ABF為等腰直角三角形，此時F（2，1），
將F（2，1）代入直線l解析式為y=kx+中，
得k=-+，
∴y=（-+）x+；（8分）
（3）①當直線l∥x軸時，直線l與函數的圖形有一個交點，
此時，直線l解析式為，
②當直線l與x軸不平行時，
設直線l解析式為y=kx+，
聯立，
得kx²+x-2=0，
當△=0時，兩函數圖象只有一個交點，即（）²+8k=0，
解得k=-，
此時，直線l解析式為等（寫出一個正確答案即可）            （12分）
點評：本題考查了一次函數的綜合運用，反比例函數與一次函數的交點問題，特殊三角形的性質．關鍵是采用形數結合的方法，確定直線l上點的坐標，求一次函數解析式．