Question

如圖，在平面直角坐標系xOy內，正方形AOBC的頂點C的坐標為（1，1），過點B的直線MN與OC平行，AC的延長線交MN于點D，點P是直線MN上的一個動點，CQ∥OP交MN于點Q．
（1）求直線MN的函數解析式；
（2）當點P在x軸的上方時，求證：△OBP≌△CDQ；猜想：若點P運動到x軸的下方時，△OBP與△CDQ是否依然全等？（不要求寫出證明過程）
（3）當四邊形OPQC為菱形時，①求出點P的坐標；②直接寫出∠POC的度數．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據正方形的性質可以確定B的坐標，先求出OC的解析式，再由B的坐標就可以求出NM的解析式；
（2）根據平行四邊形的性質和平行線的性質就可以判定△OBP≌△CDQ，當點P運動到x軸的下方時，△OBP與△CDQ同理可以判斷兩三角形全等；
（3）如圖3、圖4，作OH⊥MN，PG⊥OB于G，根據勾股定理就可以求出P點的縱坐標，從而求出P點的坐標，根據直角三角形的性質就可以求出∠OPE的度數，由平行的性質就可以得出∠POC的度數．當P點在x軸的下方時如圖4同理可以得出結論．
解答：解：（1）∵四邊形AOBC是正方形，
∴AO=BO=BC=AC，AO∥BC，AC∥OB，∠OBC=90°．
∵C的坐標為（1，1），
∴B（1，0），
設OC的解析式為y=kx，由題意，得
1=k，
∴OC的解析式為：y=x．
∵MN∥OC，
∴直線MN的解析式與OC的解析式的k值相等．
設MN的解析式為y=x+b，由題意，得
0=1+b，
∴b=-1，
∴直線MN的解析式為y=x-1；

（2）∵OC∥MN，OP∥CQ，
∴四邊形OPQC是平行四邊形，∠OPB=∠CQD，∠OBP=∠CDQ，
∴OP=CQ．
在△OBP和△CDQ中，
，
∴△OBP≌△CDQ（AAS）．
如圖，點P運動到x軸的下方時，△OBP≌△CDQ，方法同上．

（3）如圖3、圖4，作OH⊥MN，PG⊥OB于G，
∴OH=BE=．BG=PG．
∵OB=BC=1，
∴OC=．
∵四邊形OPQC是菱形，
∴OP=OC=，
∴OP=2OH，
∴∠OPH=30°．
∵OC∥MN，
∴∠POC=∠OPH=30°．
設PG=BG=x，則OG=1+x，在Rt△OPG中，由勾股定理，得
2=（1+x）²+x²，
解得：x₁=，x₂=，
∴OG=或
∴P（）或（），∠POC=30°或150°．

點評：本題是一道一次函數的綜合試題，考查了待定系數法求一次函數的解析式的運用，平行四邊形的判定及性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，菱形的性質的運用，勾股定理的運用，解答時運用靈活運用菱形的性質和直角三角形的性質是解答本題的關鍵．