Question

如圖所示，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，AE平分∠BAC交CD于G，交BC于E，過點E作EF⊥AB，垂足為F，連接FG．求證四邊形CEFG是菱形．

Answer 1

答案：略
解析：

證法1：∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，∠ACB=90°， ∴CE=EF． ∵CD⊥AB，∴∠ADG=90°． ∴∠2＋∠AGD=90°，∠1＋∠AEC=90°． ∵∠1=∠2，∴∠AGD=∠AEC． ∵∠AGD=∠CGE， ∴∠CGE=∠AEC，∴CG=CE，∴CG=EF． ∵CD⊥AB，EF⊥AB， ∴CD∥EF，∴四邊形CEFG是平行四邊形． ∵CE=EF，∴四邊形CEFG是菱形． 證法2：∵AE平分∠BAC，∴∠1=∠2． ∵EF⊥AB，∴∠AFE=∠ACB=90°． 在△ACF和△AFE中， ∴△ACE≌△AFE，∴AF=AC，CE=EF． 在△AGC和△AGF中， ∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠ACB=90°． ∴∠1＋∠AEC=90°，∠2＋∠AGD=90°． ∵∠1=∠2，∴∠AGD=∠AEC． ∵∠AGD=∠CGE，∴∠CGE=∠AEC，∴CG=CE． ∴CG=CE=EF=FG，∴四邊形CEFG是菱形． 證法3：如圖所示，連接CF，交GE于O． ∵AE平分∠BAC，∴∠1=∠2． ∵∠ACB=90°，EF⊥AB， ∵∠ACB=∠AFE=90°． 在△ACE和△AFE中， ∴△ACE≌△AEF，∴AC=AF． ∵AE平分∠ABC，∴AE垂直平分CF． ∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ACB=∠ADC=90°． ∴∠1＋∠AEC=∠2＋∠AGD=90°． ∵∠1=∠2，∴∠AEC=∠AGD， ∴∠CGE=∠AEC，∴CG=CE． ∵AE⊥CF，∴CF平分GE，∴CF與GE互相垂直平分． ∴四邊形CEFG是菱形．

提示：

要證四邊形CEFG是菱形，由已知條件AE平分∠BAC，∠ACB=90°，EF⊥AB．可證EF=CE，所以只需證四邊形CEFG是平行四邊形，證明平行四邊形的方法有很多，這里給出此題三種證法．