Question

如圖，在平面直角坐標系中，矩形OACB的頂點O在坐標原點，頂點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點．
（1）若E為邊OA上的一個動點，是否存在一點E使△CDE的周長取得最小值？若存在，求點E的坐標并證明；若不存在，請說明理由．
（2）若E、F為邊OA上的兩個動點，且EF=2，當四邊形CDEF的周長最小時，求點E、F的坐標．

Answer 1

分析：（1）由于C、D是定點，則CD是定值，如果△CDE的周長最小，即DE+CE有最小值．為此，作點D關于x軸的對稱點D'，當點E在線段CD′上時，△CDE的周長最��；
（2）由于DC、EF的長為定值，如果四邊形CDEF的周長最小，即DE+FC有最小值．為此，作點D關于x軸的對稱點D'，在CB邊上截取CG=2，當點E在線段D′G上時，四邊形CDEF的周長最小．

解答：解：（1）如圖，作點D關于x軸的對稱點D'，連接CD'與x軸交于點E，連接DE．（1分）
若在邊OA上任取點E'（與點E不重合），連接CE'、DE'、D'E'．
由DE'+CE'=D'E'+CE'＞CD'=D'E+CE=DE+CE，（3分）
可知△CDE的周長最�。�
∵在矩形OACB中，OA=3，OB=4，D為OB的中點，
∴BC=3，D'O=DO=2，D'B=6．
∵OE∥BC，
∴Rt△D'OE∽Rt△D'BC，（4分）
有

OE

BC

=

D′O

D′B

．
∴OE=

D′O•BC

D′B

=

2×3

6

=1（5分）
∴點E的坐標為（1，0）（6分）

（2）如圖，
作點D關于x軸的對稱點D'，在CB邊上截取CG=2，連接D'G與x軸交于點E，在EA上截取EF=2（7分）
∵GC∥EF，GC=EF，
∴四邊形GEFC為平行四邊形，有GE=CF．
又DC、EF的長為定值，
∴此時得到的點E、F使四邊形CDEF的周長最�。�8分）
∵OE∥BC，
∴Rt△D'OE∽Rt△D'BG，有

OE

BG

=

D′O

D′B

．
∴OE=

D′O•BG

D′B

=

D′O•(BC-CG)

D′B

=

2×1

6

=

1

3

（9分）
∴OF=OE+EF=

1

3

+2=

7

3

．
∴點E的坐標為（

1

3

，0），點F的坐標為（

7

3

，0）（10分）

點評：此題主要考查軸對稱--最短路線問題，解決此類問題，一般都是運用軸對稱的性質，將求折線問題轉化為求線段問題，其說明最短的依據是三角形兩邊之和大于第三邊．