Question

如圖，直線AM∥BN，AE、BE分別平分∠MAB、∠NBA．
（1）∠AEB的度數為______；
（2）請證明（1）中你所給出的結論；
（3）過點E任作一線段CD，使CD交直線AM于點D，交直線BN于點C，線段AD、BC、AB三者間有何等量關系？試證明你的結論．

Answer 1

（1）解：90°；

（2）證明：如圖，
∵AE、BE分別平分∠NBA、∠MAB，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
又∵AM∥BN，
∴∠MAB+∠NBA=180°，
即∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∠1+∠1+∠3+∠3=180°，
∴2（∠1+∠3）=180°，
∠1+∠3=90°，
從而∠AEB=180°-（∠1+∠3）=90°；

（3）解：①當點D在射線AM的反向延長線上、點C在射線BN上時（如圖），
線段AD、BC、AB三者間的關系為：
BC=AB+AD．
證法一：延長AE交BN于點F．
∵AM∥BN，
∴∠4=∠AFB，
又∠3=∠4，
∴∠AFB=∠3，
∴BF=BA（等角對等邊），
即△BAF為等腰三角形．
由（1）∠AEB=90°知BE⊥AF，
即BE為等腰△BAF底邊AF上的高，
由“三線合一”定理，得AE=EF．
由AM∥BN得∠ADE=∠FCE，
又∠AED=∠FEC，
∴△ADE≌△FCE，
∴AD=FC，
BC=BF+FC及BF=AB、FC=AD
得BC=AB+AD
（特殊情況：點D與A點重合時，C點即是上圖的F點，
AD=0，BC=BF，由上述證明過程知，仍有BC=AB+AD）；
②當點D在射線AM上，點C在射線BN上時（如圖），
線段AD、BC、AB三者間的關系為：AB=AD+BC．
證明如下：
由①的證明可知，若延長AE交BN于點F，則AE=EF，
即E為AF的中點，易證△AED≌△FEC，
∴AD=CF，
由①知，△ABF為等腰三角形，AB=BF=BC+CF，
即AB=AD+BC；

③當點D在射線AM上，點C在射線BN的反向延長線上時（如圖），
線段AD、BC、AB三者間的關系為：
AD=AB+BC．
證明如下：延長BE交AM于點F，
∵AM∥BN，
∴∠2=∠AFB，
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠AFB，
∴AF=AB．
∵∠AEB=90°，即AE為等腰△ABF底邊BF上的高，
∴BE=FE（“三線合一”定理），易證△EBC≌△EFD，
∴BC=FD．
從而AD=AF+FD=AB+BC．
（特殊情況：當點C與點B重合時，由上述證明過程知，上式也成立）
分析：（1）應先判斷出和∠E組成的三角形的其余兩個角的度數之和，再根據三角形內角和定理即可求出∠AEB的度數；
（2）根據平行得到同旁內角的關系，以及角平分線的定義推出和∠E組成的三角形的其余兩個角的度數之和；
（3）應從點D和點C的不同位置入手，分情況進行討論．
點評：本題考查了三角形全等的判定及性質；本題需注意多種情況的分析，利用全等來得到各線段之間的等量關系．