Question

先閱讀下面材料，再回答問題．
一般地，如果函數y的自變量x在a＜x＜b范圍內，對于任意x₁，x₂，當a＜x₁＜x₂＜b時，總是有y₁＜y₂（y_n是與x_n對應的函數值），那么就說函數y在a＜x＜b范圍內是增函數．
例如：函數y=x²在正實數范圍內是增函數．
證明：在正實數范圍內任取x₁，x₂，若x₁＜x₂，
則y₁-y₂=x₁²-x₂²=（ x₁-x₂）（ x₁+x₂）
因為x₁＞0，x₂＞0，x₁＜x₂
所以x₁+x₂＞0，x₁-x₂＜0，（ x₁-x₂）（ x₁+x₂）＜0
即y₁-y₂＜0，亦即y₁＜y₂，也就是當x₁＜x₂時，y₁＜y₂．
所以函數y=x²在正實數范圍內是增函數．
問題：
（1）下列函數中．①y=-2x（x為全體實數）；②y=-

2

x

（x＞0）；③y=

1

x

（x＞0）；在給定自變量x的取值范圍內，是增函數的有______．
（2）對于函數y=x²-2x+1，當自變量x______時，函數值y隨x的增大而增大．
（3）說明函數y=-x²+4x，當x＜2時是增函數．

Answer 1

（1）①y=-2x，
∵k=-2＜0，
∴x在全體實數范圍內y隨x的增大而減小；
②y=-

2

x

（x＞0），
∵k=-2＜0，
∴x＞0時，y隨x的增大而增大；
③y=

1

x

（x＞0），
∵k=1＞0，
∴x＞0時，y隨x的增大而減小，
綜上所述，增函數只有②；

（2）二次函數y=x²-2x+1的對稱軸為x=-

b

2a

=-

-2

2×1

=1，
∵二次函數開口向上，
∴自變量x＞1時，函數值y隨x的增大而增大；

（3）證明：設x₁＜x₂＜2，
則y₁-y₂=（-x₁²+4x₁）-（-x₂²+4x₂），
=-x₁²+x₂²+4x₁-4x₂，
=-（x₁-x₂）（x₁+x₂）+4（x₁-x₂），
=（x₁-x₂）（4-x₁-x₂），
∵x₁＜x₂＜2，
∴-x₁＞-x₂＞-2，x₁-x₂＜0，
∴4-x₁-x₂＞0，
∴（x₁-x₂）（4-x₁-x₂）＜0，
即y₁-y₂＜0，
亦即y₁＜y₂，
也就是當x₁＜x₂＜2時，y₁＜y₂，
所以函數y=x²在正實數范圍內是增函數．