Question

（2010•邯鄲一模）（1）如圖1，△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC交BC于點D，在AB上截取AE=AC，過點E作EF∥BC交AD于點F．求證：①△ADE≌△ADC；②四邊形CDEF是菱形；
（2）如圖2，△ABC中，AB＞AC，AD平分△ABC的外角∠EAC交BC的延長線于點D，在AB的反向延長線上截取AE=AC，過點E作EF∥BC交AD的反向延長線于點F．四邊形CDEF還是菱形嗎？如果是，請給出證明；如果不是，請說明理由；
（3）在（2）的條件下，四邊形CDEF能是正方形嗎？如果能，直接寫出此時△ABC中∠BAC與∠B的關系；如果不能，請直接回答問題，不必說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）①直接由SAS得出△ADE≌△ADC；②由△ADE≌△ADC得出DE=DC，∠ADE=∠ADC．再由SAS證明△AFE≌△AFC，得出EF=CF．由EF∥BC得出∠EFD=∠ADC，從而∠EFD=∠ADE，根據等角對等邊得出DE=EF，從而DE=EF=CF=DC，由菱形的判定可知四邊形CDEF是菱形．
（2）首先由SAS證出△ADE≌△ADC，△AFE≌△AFC，得出DE=DC，∠ADE=∠ADC，EF=CF．然后由EF∥BC，得出∠EFD=∠ADC，從而∠EFD=∠ADE，根據等邊對等角得出DE=EF，則DE=EF=CF=DC，由菱形的判定可知四邊形CDEF是菱形．
（3）如果四邊形CDEF是正方形，由上問可知四邊形CDEF是菱形，則只需∠FDC=45°即可．則∠B+∠BAC+∠CAD=180°-∠FDC=135°，又∠CAD=∠EAD=∠CAE=（180°-∠BAC），推出2∠B+2∠BAC+2×=270°，∴∠BAC+2∠B=90°．
解答：（1）證明：①在△ADE和△ADC中，
∵AE=AC，∠EAF=∠CAF，AD=AD，
∴△ADE≌△ADC；
②∵△ADE≌△ADC，
∴DE=DC，∠ADE=∠ADC
同理△AFE≌△AFC，
∴EF=CF
∵EF∥BC
∴∠EFD=∠ADC，
∴∠EFD=∠ADE，
∴DE=EF，
∴DE=EF=CF=DC，
∴四邊形CDEF是菱形．

（2）解：四邊形CDEF是菱形．理由如下：
∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，
∴△ADE≌△ADC，
∴DE=DC，∠ADE=∠ADC．
同理△AFE≌△AFC，
∴EF=CF．
∵EF∥BC，
∴∠EFD=∠ADC，
∴∠EFD=∠ADE，
∴DE=EF，
∴DE=EF=CF=DC，
∴四邊形CDEF是菱形．

（3）解：四邊形CDEF能是正方形．∠BAC+2∠B=90°．
點評：本題主要考查了全等三角形、菱形的判定，平行線、正方形的性質等知識．難度中等．