Question

已知：如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，點O在AC上，以O為圓心、OC為半徑的圓與AB相切于點D，交AC于點E．
（1）求證：DE∥OB；
（2）若⊙O的半徑為2，BC=4，求AD的長．

Answer 1

分析：（1）根據AB與⊙O相切，BC是⊙O的切線，結合等腰三角形的性質判斷出BO⊥CD，根據直徑所對的圓周角是90°，判斷出ED⊥CD，得出DE∥OB；
（2）因為DE∥OB，根據平行線分線段成比例定理，確定AD和AE的關系，再根據切割線定理，可求出AD的長．

解答：（1）證明：∵∠ACB=90°，CO是⊙O的半徑，
∴BC是⊙O的切線，
又∵AB與⊙O相切，
∴OC=OD，且BO為∠CBA的角平分線，
∴BO⊥CD，（3分）
又∵CE是⊙O的直徑，且C是⊙O上一點，
∴DE⊥CD，
∴DE∥OB；（5分）

（2）解：∵DE∥OB，
∴

AD

DB

=

AE

EO

，
又BD=BC=4，OE=2，
∴

AD

4

=

AE

2

，即AD=2AE，（7分）
又AD、AC分別是⊙O的切線和割線，
∴AD²=AE•AC，即AD²=AE•（AE+4），（9分）
∴AD²=

AD

2

•（

AD

2

+4），可得AD=

8

3

．

點評：此題是一道基礎性題目，考查了和圓相關的等腰三角形的性質、切線長定理以及平行線分線段成比例定理，仔細分析，建立起它們之間的關系即可解答．