Question

在矩形ABCD中，E是AD的中點，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，且點G在矩形ABCD內部，延長BG交線段DC于點F．若DC=2DF，則=    ；若DC=nDF，則=    ．（用含n的代數式表示結果）

Answer 1

【答案】分析：（1）求簡單的線段相等，可證線段所在的三角形全等，即連接EF，證△EGF≌△EDF即可；可設DF=x，BC=y；進而可用x表示出DC、AB的長，根據折疊的性質知AB=BG，即可得到BG的表達式，由（1）證得GF=DF，那么GF=x，由此可求出BF的表達式，進而可在Rt△BFC中，根據勾股定理求出x、y的比例關系，即可得到的值；
（2）方法同（1）．
解答：解：（1）連接EF，則根據翻折不變性得，
∠EGF=∠D=90°，EG=AE=ED，EF=EF，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF，
∴GF=DF；
設DF=x，BC=y，則有GF=x，AD=y
∵DC=2DF，
∴CF=x，DC=AB=BG=2x，
∴BF=BG+GF=3x；
在Rt△BCF中，BC²+CF²=BF²，即y²+x²=（3x）²
∴y=2x，
∴==

（2）由（1）知，GF=DF，設DF=x，BC=y，則有GF=x，AD=y
∵DC=n•DF，
∴BF=BG+GF=（n+1）x
在Rt△BCF中，BC²+CF²=BF²，即y²+[（n-1）x]²=[（n+1）x]²，
∴y=2x，
∴==．
故答案為：；．
點評：本題考查了矩形的性質、圖形的折疊變換、全等三角形的判定和性質、勾股定理的應用等重要知識，熟知圖形翻折不變性的性質是解答此題的關鍵．