Question

已知拋物線y=ax²+bx經過點A（2，0），頂點為D（1，-1）．
（1）確定拋物線的解析式；
（2）直線y=3與拋物線相交于B、C兩點（B點在C點左側），以BC為一邊，原點O為另一頂點作平行四邊形，設平行四邊形的面積為S，求S的值；
（3）若以（2）小題中BC為一邊，拋物線上的任一點P為另一頂點作平行四邊形，當平行四邊形面積為8時，試確定P點的坐標；
（4）當-2≤x≤4時，（3）小題中平行四邊形的面積是否有最大值？若有請求出，若無請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A，D兩點的坐標代入拋物線中，即可得出拋物線的解析式．
（2）先根據拋物線的解析式求出B，C兩點的坐標，進而得出BC的長，然后根據B點的縱坐標（即平行四邊形的高），求出S的值．
（3）由于BC邊的長已確定，因此可根據平行四邊形的面積求出P點和B點的縱坐標差的絕對值，以此可得出P點的縱坐標，然后根據拋物線的解析式即可求出P點的坐標．
（4）先根據拋物線的解析式找出x在-2和4區間拋物線上到BC距離最長的點，進而可求出平行四邊形的最大面積．
解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx過點A（2，0），D（1，-1），
∴
解得a=1，b=-2．
則拋物線的解析式為y=x²-2x．

（2）在拋物線解析式為y=x²-2x中，令y=3，
即3=x²-2x．
解得x₁=-1，x₂=3
則B（-1，3）、C（3，3）．
故BC=4，那么S=4×3=12．

（3）當P點在直線BC下方時，
S=4×（3-y）=12-4y=8，y=1．
由x²-2x=1，得：
，．
則P點的坐標為
P₁（，1），P₂（，1）．
當P點在直線BC上方時，
S=4×（y-3）=4y-12=8，y=5．
由x²-2x=5，得：
，．
則P點的坐標為
P₃（，5），P₄（，5）．

（4）把x=-2代入y=x²-2x，
得y=8，
把x=4代入y=x²-2x，
得y=8，
當-2≤x≤4時，頂點D到BC的距離為4，拋物線上與線段BC距離最遠的有兩個點，坐標分別為（-2，8）、（4，8）與線段BC的距離都為5．
∴S有最大值，其最大值為
S=4×（8-3）=20．
點評：本題主要考查二次函數解析式的確定、圖形的面積求法、函數圖象交點等知識及綜合應用知識、解決問題的能力．