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(2012•常德)如圖,已知二次函數(shù)y=
148
(x+2)(ax+b)
的圖象過點A(-4,3),B(4,4).
(1)求二次函數(shù)的解析式:
(2)求證:△ACB是直角三角形;
(3)若點P在第二象限,且是拋物線上的一動點,過點P作PH垂直x軸于點H,是否存在以P、H、D為頂點的三角形與△ABC相似?若存在,求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
分析:(1)將點A及點B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,得出a、b的值,繼而可得出函數(shù)解析式;
(2)根據(jù)二次函數(shù)解析式,求出點C的坐標(biāo),然后分別求出AC、AB、BC的長度,利用勾股定理的逆定理證明即可;
(3)分兩種情況進行討論,①△DHP∽△BCA,②△PHD∽△BCA,然后分別利用相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)求出點P的坐標(biāo).
解答:解:(1)由題意得,函數(shù)圖象經(jīng)過點A(-4,3),B(4,4),
故可得:
3=
1
48
(-4+2)(-4a+b)
4=
1
48
(4+2)(4a+b)

解得:
a=13
b=-20

故二次函數(shù)關(guān)系式為:y=
1
48
(x+2)(13x-20).

(2)由(1)所求函數(shù)關(guān)系式可得點C坐標(biāo)為(-2,0),點D坐標(biāo)為(
20
13
,0),
又∵點A(-4,3),B(4,4),
∴AB=
(4+4)2+(4-3)2
=
65
,AC=
(-2+4)2+(0-3)2
=
13
,BC=
(4+2)2+(4-0)2
=
52

∵滿足AB2=AC2+BC2
∴△ACB是直角三角形.

(3)存在點P的坐標(biāo),點P的坐標(biāo)為(-
50
13
35
13
)或(-
122
13
284
13
).
設(shè)點P坐標(biāo)為(x,
1
48
(x+2)(13x-20)),則PH=
1
48
(x+2)(13x-20),HD=-x+
20
13

①若△DHP∽△BCA,則
PH
AC
=
DH
BC
,即
1
48
(x+2)(13x-20)
13
=
-x+
20
13
52

解得:x=-
50
13
或x=
20
13
(因為點P在第二象限,故舍去);
代入可得PH=
35
13
,即P1坐標(biāo)為(-
50
13
35
13
);
②若△PHD∽△BCA,則
PH
BC
=
HD
AC
,即
1
48
(x+2)(13x-20)
52
=
-x+
20
13
13

解得:x=-
122
13
或x=
20
13
(因為點P在第二象限,故舍去).
代入可得PH=
284
13
,即P2坐標(biāo)為:(-
122
13
284
13
).
綜上所述,滿足條件的點P有兩個,即P1(-
50
13
35
13
)、P2(-
122
13
284
13
).
點評:此題屬于二次函數(shù)綜合題目,涉及了相似三角形的判定與性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,同時還讓學(xué)生探究存在性問題,本題的第三問計算量比較大,同學(xué)們要注意細心求解.
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