Question

（2005•長春）如圖1所示，矩形ABCD的兩條邊在坐標軸上，點D與原點重合，對角線BD所在直線的函數關系式為y=x，AD=8．矩形ABCD沿DB方向以每秒1個單位長度運動，同時點P從點A出發做勻速運動，沿矩形ABCD的邊經過點B到達點C，用了14秒．

（1）求矩形ABCD的周長．
（2）如圖2所示，圖形運動到第5秒時，求點P的坐標．
（3）設矩形運動的時間為t，當0≤t≤6時，點P所經過的路線是一條線段，請求出線段所在直線的函數關系式．
（4）當點P在線段AB或BC上運動時，過點P作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F，則矩形PEOF是否能與矩形ABCD相似（或位似）？若能，求出t的值；若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意，AD=8，B點在y=x上，則y=6，即B點坐標為（8，6），AB=6，可求得矩形的周長為28．
（2）由（1）可知AB+BC=14，點P的速度為每秒1個單位．可求得D點坐標為（4，3），點P坐標為（12，8）；
（3）設線段所在直線為y=kx+b，把點（8，0），（12，8），代入解析式利用待定系數法求解得：函數關系式為y=2x-16；
（4）①當點P在AB邊運動時，即0≤t≤6，點D的坐標表示為，點P的坐標為（8+t，），根據相似三角形的相似比，解得t=6；當點P與點B重合，此時矩形PEOF與矩形BADC是位似形．則根據相似三角形的相似比可解得t=20，因為20＞6，所以此時點P不在AB邊上，舍去．②當點P在BC邊運動時，即6≤t≤14，則點D的坐標為，點P的坐標為（14-t，t+6）
同樣利用三角形的相似比可求得，因為，此時點P不在BC邊上，舍去．
綜合可知，當t=6時，點P到達點B，矩形PEOF與矩形BADC是位似形．
解答：解：（1）AD=8，B點在y=x上，則y=6，B點坐標為（8，6），AB=6，矩形的周長為28．

（2）由（1）可知AB+BC=14，P點走過AB、BC的時間為14秒，因此點P的速度為每秒1個單位．
∵矩形沿DB方向以每秒1個單位長運動，出發5秒后，OD=5，此時D點坐標為（4，3），
同時點P沿AB方向運動了5個單位，則點P坐標為（12，8）．

（3）點P運動前的位置為（8，0），5秒后運動到（12，8），
已知它運動路線是一條線段，設線段所在直線為y=kx+b
∴，
解得：
函數關系式為y=2x-16．

（4）方法一：①當點P在AB邊運動時，即0≤t≤6，
點D的坐標為，
∴點P的坐標為（8+t，）．
若，則，解得t=6．
當t=6時，點P與點B重合，此時矩形PEOF與矩形BADC是位似形．
若，則，
解得t=20．
因為20＞6，所以此時點P不在AB邊上，舍去．
②當點P在BC邊運動時，即6≤t≤14，
點D的坐標為，
∴點P的坐標為（14-t，t+6）．
若，則，
解得t=6．
因為＜14，此時點P不在BC邊上，舍去．
綜上，當t=6時，點P到達點B，矩形PEOF與矩形BADC是位似形．

方法二：當點P在AB上沒有到達點B時，，更不能等于．
則點P在AB上沒到達點B時，兩個矩形不能構成相似形
當點P到達點B時，矩形PEOF與矩形BADC是位似形，此時t=6．
當點P越過點B在BC上時，
若時，由點P在BC上時，坐標為：
（14-t，t+6），（6≤t≤14），
，
解得t=，但＜14．
因此當P在BC上（不包括B點）時，矩形PEOF與矩形BCDA不相似．
綜上，當t=6時，點P到達點B，矩形PEOF與矩形BADC是位似形．
點評：主要考查了函數和幾何圖形的綜合運用．解題的關鍵是會靈活的運用函數圖象的性質和交點的意義求出相應的線段的長度或表示線段的長度，再結合具體圖形的性質求解．