Question

【題目】如圖，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（0，8），并且經(jīng)過A（8，0），點(diǎn)P是拋物線上點(diǎn)A，C間的一個(gè)動點(diǎn)（含端點(diǎn)），過點(diǎn)P作直線y=8的垂線，垂足為點(diǎn)F，點(diǎn)D，E的坐標(biāo)分別為（0，6），（4，0），連接PD，PE，DE．

（1）求拋物線的解析式；

（2）猜想并探究：對于任意一點(diǎn)P，PD與PF的差是否為固定值？如果是，請求出此定值；如果不是，請說明理由；

（3）求：①當(dāng)△PDE的周長最小時(shí)的點(diǎn)P坐標(biāo)；②使△PDE的面積為整數(shù)的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=﹣x2+8；（2）PD與PF的差是定值，PD﹣PF=2；（3）①P（4，6），此時(shí)△PDE的周長最小；②共有11個(gè)令S△DPE為整數(shù)的點(diǎn)．

【解析】（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+h）2+k

∵點(diǎn)C（0，8）是它的頂點(diǎn)坐標(biāo)， ∴y=ax2+8

又∵經(jīng)過點(diǎn)A（8，0），

有64a+8=0，解得a=

故拋物線的解析式為：y=x2+8；

（2）是定值，解答如下：

設(shè)P（a，a2+8），則F（a，8），

∵D（0，6），

∴PD=

PF=，

∴PD﹣PF=2；

（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時(shí)，DE大小不變，則PE與PD的和最小時(shí)，△PDE的周長最小，

∵PD﹣PF=2，∴PD=PF+2，

∴PE+PD=PE+PF+2，

∴當(dāng)P、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，PE+PF最小，

此時(shí)點(diǎn)P，E的橫坐標(biāo)都為4，

將x=4代入y=x2+8，得y=6，

∴P（4，6），此時(shí)△PDE的周長最小．

過點(diǎn)P做PH⊥x軸，垂足為H．

設(shè)P（a，a2+8）

∴PH=a2+8，EH=a-4，OH=a

S△DPE=S梯形PHOD-S△PHE-S△DOE

=

=

=

∵點(diǎn)P是拋物線上點(diǎn)A，C間的一個(gè)動點(diǎn)（含端點(diǎn)）

∴0≤a≤8

當(dāng)a=6時(shí)，S△DPE取最大值為13．

當(dāng)a=0時(shí)，S△DPE取最小值為4．

即4≤S△DPE≤13

其中，當(dāng)S△DPE=12時(shí)，有兩個(gè)點(diǎn)P．

所以，共有11個(gè)令S△DPE為整數(shù)的點(diǎn)．