Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=﹣x²+2x+3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點D是該拋物線的頂點．

（1）求直線AC的解析式及B、D兩點的坐標；
（2）點P是x軸上一個動點，過P作直線l∥AC交拋物線于點Q，試探究：隨著P點的運動，在拋物線上是否存在點Q，使以點A、P、Q、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）請在直線AC上找一點M，使△BDM的周長最小，求出M點的坐標．

Answer 1

（1）y="3x+3" ，B的坐標（3，0），D的坐標為（1，4）
（2）（2，3）或（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3）
（3）M點的坐標為（，）

試題分析：解：（1）當y=0時，﹣x²+2x+3=0，解得x₁=﹣1，x₂=3．
∵點A在點B的左側，∴A、B的坐標分別為（﹣1，0），（3，0）．
當x=0時，y=3．∴C點的坐標為（0，3）
設直線AC的解析式為y=k₁x+b₁（k₁≠0），則，解得，
∴直線AC的解析式為y=3x+3．

∵y=﹣x²+2x+3=﹣（x﹣1）²+4，　∴頂點D的坐標為（1，4）．
（2）拋物線上有三個這樣的點Q，
當點Q在Q位置時，Q的縱坐標為3，
代入拋物線可得點Q的坐標為（2，3）；
當點Q在點Q位置時，點Q的縱坐標為﹣3，
代入拋物線可得點Q坐標為（1+，﹣3）；
當點Q在Q位置時，點Q的縱坐標為﹣3，代入拋物線解析式可得，點QQ3的坐標為（1﹣，﹣3）；
綜上可得滿足題意的點Q有三個，分別為：（2，3）或（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3）．
（3）過點B作BB′⊥AC于點F，使B′F=BF，則B′為點B關于直線AC 的對稱點．連接B′D交直線AC與點M，則點M為所求，
過點B′作B′E⊥x軸于點E．

∵∠1和∠2都是∠3的余角，∴∠1=∠2．
∴R t △AOC∽R t △AFB，∴，
∵OA=1，OB=3，OC=3，∴AC=，AB=4．
∴，∴BF=，∴BB′=2BF=，
由∠1=∠2可得R t △AOC∽R t △B′EB，∴，∴，
即．∴B′E=，BE=，∴OE=BE﹣OB=﹣3=．
∴點B′的坐標為（﹣，）．
設直線B′D的解析式為y=k₂x+b₂（k₂≠0）．∴，
解得，∴直線B'D的解析式為：y=x+，
聯立B'D與AC的直線解析式可得：，解得，
∴M點的坐標為（，）．
點評：該題較為復雜，但是運用的是常考的知識點，例如待定系數法，二次函數頂點式轉化，以及與幾何圖形結合等，要求學生熟練，掌握方法。