Question

在△ABC中，AB=AC=5cm，D、E分別是AB，AC的中點，將△EBC沿BC折疊得到△FBC，連接C、D．
（1）求證：四邊形DBFC是平行四邊形；    
（2）若BC=5cm，求D、F兩點之間的距離．

Answer 1

分析：（1）先根據中點的性質得出BD及CE的長，由全等三角形的判定定理得出△BEC≌△CDB，進而得出CD=BE，再由圖形翻折變換的性質得出BE=BF，CE=CF，通過等量代換可得到BD=CF，CD=BF，故可知四邊形DBFC是平行四邊形；
（2）根據等邊三角形的性質判斷出△BDC的形狀，連接DF，根據勾股定理即可得出DF的長．

解答：（1）證明：∵AB=AC=5cm，D、E分別是AB，AC的中點，
∴BD=CE=2.5cm，∠ABC=∠ACB，BC=BC，
∴△BEC≌△CDB，
∴BE=CD，
∵△BFC是△BEC翻折而成，
∴BE=BF，CE=CF，
∴BF=CD，CF=BD，
∴四邊形DBFC是平行四邊形；

（2）解：連接DF，
∵AB=AC=5cm，BC=5cm，
∴△ABC是等邊三角形，
∵D是AB的中點，
∴CD⊥AB，∠BCD=30°，
∴CD=BC•cos30°=5×

3

2

=

5 3

2

，
∴四邊形DBFC是矩形，
∴BF=CD=

5 3

2

在Rt△BDF中，
DF=

BD2+BF2

=

2.52+( 5 3 2 )2

=5cm．

點評：本題考查的是圖形的翻折變換，涉及到等邊三角形的判定與性質，直角三角形的判定與性質，矩形的判定定理等知識，涉及面較廣，難度適中．