Question

（2013•閔行區三模）已知：如圖，△ABC是等邊三角形，點D在邊BC上，且△ADE是等邊三角形．過點E作EF∥BC，EF分別與線段AB、AC、AD相交于點F、G、H，聯結CE．
（1）求證：四邊形BCEF是平行四邊形；
（2）如果AD⊥BC，求證：BC=2FG．

Answer 1

分析：（1）通過全等三角形△BAD≌△CAE（SAS）的對應角相等判定∠B=∠ACE=60°．則∠ACE=∠BAC．所以根據平行線的判定知BF∥CE．又EF∥BC，故兩組對邊互相平行的四邊形是平行四邊形，即四邊形BCEF是平行四邊形；
（2）由垂直得到直角，即由AD⊥BC，得到∠ADC=90°．然后根據（1）中的平行線得到∠AHE=∠ADC=90°．即EH⊥AD．又△ADE是等邊三角形，所以EA=ED．AH=DH．再根據平行線分線段成比例得到

AF

FB

=

AH

DH

=1．即AF=BF，同理可得AG=CG．故BC=2FG．

解答：證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠B=60°．
同理可知，AD=AE，∠DAE=60°．
即得∠BAC=∠DAE．
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．
即得∠BAD=∠CAE．
∴在△BAD和△CAE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

∴△BAD≌△CAE（SAS）．
∴∠B=∠ACE=60°．
∴∠ACE=∠BAC．
∴BF∥CE．
又∵EF∥BC，
∴四邊形BCEF是平行四邊形；

（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°．
又∵EF∥BC，
∴∠AHE=∠ADC=90°．即EH⊥AD．
又∵△ADE是等邊三角形，
∴EA=ED．
∴AH=DH．
∵EF∥BC，∴

AF

FB

=

AH

DH

=1．
∴AF=BF，
同理可得  AG=CG．
∴BC=2FG．

點評：本題綜合考查了平行四邊形的判定與性質，全等三角形的判定與性質以及平行線分線段成比例等知識點，綜合性比較強，需要同學們對知識有一個系統的掌握．