Question

（2005•長沙）如圖，AB是⊙O的直徑，P是AB的延長線上的一點，PC切⊙O于點C，⊙O的半徑為3，∠PCB=30度．
（1）求∠CBA的度數；（2）求PA的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據弦切角定理得到∠A=∠PCB=30°，根據直徑所對的圓周角是直角求得∠ACB=90°，從而求得∠CBA的度數；
（2）能夠根據角的度數發現等腰三角形ACP，根據30°的直角三角形由AB的長求得BC的長，從而得到PB的長，最后求得PA的長．
解答：解：（1）∵PC切⊙O于點C，
∴∠BAC=∠PCB=30°．
又∵AB為⊙O的直徑，
∴∠BCA=90°，
∴∠CBA=60°．

（2）∵∠P=∠CBA-∠PCB=60°-30°=∠PCB，
∴PB=BC，
又∵BC=AB=×6=3，
∴PA=PB+AB=BC+AB=9．
點評：此題綜合運用弦切角定理、圓周角定理的推論以及三角形的外角的性質發現30°的直角三角形和等腰三角形．