Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線A（-1，0），B（3，0），C（0，-1）三點．
（1）求該拋物線的表達式；
（2）點Q在y軸上，點P在拋物線上，要使Q、P、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出拋物線的表達式為y=ax²+bx+c，由于拋物線經過A（-1，0），B（3，0），C（0，-1）三點，把三點代入表達式，聯立解方程組，求出a、b、c．
（2）要分類討論AB是邊還是對角線兩種情況，AB為邊時，只要PQ∥AB且PQ=AB=4即可，進而求出P點坐標，當AB為對角線時，只要線段PQ與線段AB互相平分即可，進而求出P點坐標．
解答：解：（1）設該拋物線的表達式為y=ax²+bx+c根據題意，
得：，
解之得，
∴所求拋物線的表達式為y=x²-x-1．

（2）①AB為邊時，只要PQ∥AB且PQ=AB=4即可．
又知點Q在y軸上，
∴點P的橫坐標為4或-4，這時符合條件的點P有兩個，分別記為P₁，P₂．
而當x=4時，y=；
當x=-4時，y=7，
此時P₁（4，）、P₂（-4，7）．
②當AB為對角線時，只要線段PQ與線段AB互相平分即可，
又知點Q在y軸上，Q點橫坐標為0，且線段AB中點的橫坐標為1，
∴由中點坐標公式，得點P的橫坐標為2，這時符合條件的P只有一個記為P₃．
而且當x=2時y=-1，此時P₃（2，-1），
綜上，滿足條件的P為P₁（4，）、P₂（-4，7）、P₃（2，-1）．
點評：本題是二次函數的綜合題，涉及到二次函數解析式的確定，分類討論的思想，此題不是很難，但是做題時要考慮周全．