Question

（2001•河南）如圖，△ABC，∠A的平分線(xiàn)交BC于D，圓O過(guò)點(diǎn)A且與BC相切于D，AB、AC與分別相交于E，F(xiàn)，AD與EF相交于G，求證：AF•FC=GF•DC．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)要證明的線(xiàn)段之間的關(guān)系，顯然可以構(gòu)造到三角形AFG和三角形DCF中，根據(jù)弦切角定理以及圓周角定理的推論發(fā)現(xiàn)∠FDC=∠EFD，則EF∥BC，得到∠AFE=∠C，根據(jù)兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等得到兩個(gè)三角形相似，從而證明結(jié)論．
解答：證明：連接DF，
∵AD是△ABC的角平分線(xiàn)，BC是⊙O的切線(xiàn)，∠CDF=∠EFD=∠DAC=∠EAD，
∴EF∥BC．
∴∠C=∠AFE．
∴△AFG∽△DCF．
∴=，即AF•FC=GF•DC．
點(diǎn)評(píng)：此類(lèi)題一般首先能夠把線(xiàn)段放到兩個(gè)三角形中，熟練運(yùn)用相似三角形的判定和性質(zhì)．