Question

在直角坐標平面中，O為坐標原點，二次函數y=-x²+（k-1）x+4的圖象與y軸交于點A，與x軸的負半軸交于點B，且AB=5．
（1）求點A與點B的坐標和此二次函數的解析式；
（2）如果點M在拋物線上，且S△AMO=

2

3

S△ABO，求點M的坐標；
（3）如果點P在x軸上，且△ABP是等腰三角形，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）由解析式即可求出點A的坐標，根據AB=5即可求出點B的坐標；
（2）根據S△AMO=

2

3

S△ABO，即可求出點M的坐標；
（3）△ABP是等腰三角形，分①當AB=AP時，②當AB=BP時，③當AP=BP時三種情況討論．

解答：解：（1）由解析式可知，點A的坐標為（0，4），
∵AB=5，∴BO=3．∴點B的坐標為（-3，0）．
把點B的坐標（-3，0）代入y=-x²+（k-1）x+4，得-（-3）²+（k-1）×（-3）+4=0．
解得k-1=-

5

3

．
∴所求二次函數的解析式為y=-x2-

5

3

x+4；

（2）由S△AMO=

2

3

S△ABO，得|M_x|=2，
當x=2時，y=-

10

3

，得M1(2，-

10

3

)；
當x=-2時，y=

10

3

，得M2(-2，

10

3

)；

（3）因為△ABP是等腰三角形，所以
①當AB=AP時，點P的坐標為（3，0）．
②當AB=BP時，點P的坐標為（2，0）或（-8，0）．
③當AP=BP時，設點P的坐標為（x，0）．
根據題意，得

x2+42

=|x+3|．
解得x=

7

6

．
∴點P的坐標為（

7

6

，0）．
綜上所述，點P的坐標為（3，0）、（2，0）、（-8，0）、（

7

6

，0）．

點評：本題考查了待定系數法求二次函數解析式及等腰三角形的性質，難度較大，關鍵是掌握用待定系數法求二次函數解析式和二次函數及等腰三角形的性質．