Question

（2012•松北區三模）在正方形ABCD中，點P在射線AB上，點Q在邊AD上，且BP=DQ，連接PQ交AC于E，交BD于F，若AB=3，AF=

5

，則線段EF的長為

5

3

．

Answer 1

分析：過點Q作QG∥AB交OD于點G，過點F作FH∥AB交OA于H，根據正方形的性質可得△DGQ是等腰直角三角形，然后得到DQ=QG，再利用“角角邊”證明△PBF和△QGF全等，根據全等三角形的可得PF=QF，然后利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出PQ的長，然后在Rt△APQ中利用勾股定理列式求出BP的長，在Rt△AOF中，根據勾股定理求出OF的長，然后根據平行線成比例定理列式求出HF的長，再次利用平行線成比例定理列出比例式求解即可．

解答：解：如圖，過點Q作QG∥AB交OD于點G，過點F作FH∥AB交OA于H，
則△DGQ是等腰直角三角形，
∴DQ=QG，
又∵BP=DQ，
∴BP=QG，
由QG∥AB得，∠P=∠FQG，
在△PBF和△QGF中，

∠P=∠FQG ∠PFB=∠QFG BP=QG

，
∴△PBF≌△QGF（AAS），
∴PF=QF，
∴PQ=2AF=2

5

，
設BP=DQ=x，
則AB=3+x，AQ=3-x，
在Rt△APQ中，PQ²=AP²+AQ²，
即（2

5

）²=（3+x）²+（3-x）²，
解得x=1，
在Rt△AOF中，AO=BO=

3 2

2

，
OF=

AF2-AO2

=

5 2-( 3 2 2 )2

=

2

2

，
由FH∥AB得，

HF

AB

=

OF

BO

，
即

HF

3

=

2 2

3 2 2

，
解得HF=1，

HF

AP

=

EF

PE

，
即

1

3+1

=

EF

5 +EF

，
解得EF=

5

3

．
故答案為：

5

3

．

點評：本題主要考查了平行線分線段分線段成比例定理的理解及運用，正方形的性質，勾股定理的應用，等腰直角三角形的性質，作輔助線，利用平行線成比例定理是解題的關鍵．