Question

如圖PA是△ABC的外接圓O的切線，A是切點，PD∥AC，且PD與AB、AC分別相交于E、D．
求證：（1）∠PAE=∠BDE；
（2）EA•EB=ED•EP．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于AP是切線，那么∠PAE=∠ACB，而PD∥AC，于是有∠PDB=∠BDE，那么∠PAE=∠BDE；
（2）由（1）得∠PAE=∠BDE，又∠AEP=∠DEB，從而可得△AEP∽△DEB，于是有AE：PE=DE：BE，易得證．
解答：證明：如右圖所示，
（1）∵AP是切線，
∴∠PAE=∠ACB，
又∵PD∥AC，
∴∠PDB=∠BDE，
∴∠PAE=∠BDE；

（2）由（1）得∠PAE=∠BDE，
又∵∠AEP=∠DEB，
∴△AEP∽△DEB，
∴AE：PE=DE：BE，
∴EA•EB=ED•EP．
點評：本題考查了切線的性質、平行線的性質、弦切角定理、相似三角形的判定和性質．解題的關鍵是利用弦切角定理知道∠PAE=∠ACB．