Question

如圖，AB是⊙O的切線，切點為B，AO交⊙O于點C，過點C作DC⊥OA，交AB于點D，
（1）求證：∠CDO=∠BDO；
（2）若∠A=30°，⊙O的半徑為4，求陰影部分的面積．（結果保留π）

Answer 1

分析：（1）根據切線的性質定理得到直角三角形，從而根據HL證明直角三角形全等，即可得到對應角相等；
（2）陰影部分的面積=直角△AOB的面積-直角△ACD的面積-扇形OBC的面積．

解答：（1）證明：∵AB切⊙O于點B，
∴OB⊥AB，即∠B=90°．
又∵DC⊥OA，
∴∠OCD=90°．
在Rt△COD與Rt△BOD中，
∵OD=OD，OB=OC，
∴Rt△COD≌Rt△BOD，（HL）
∴∠CDO=∠BDO．

（2）解：在Rt△AOB中，∠A=30°，OB=4，
∴OA=8，
AC=OA-OC=8-4=4．
在Rt△ACD中，tan∠A=

CD

AC

，
又∠A=30°，AC=4，
∴CD=AC•tan30°=

4 3

3

，
∴S_{四邊形OCDB}=2S_△OCD=2×

1

2

×4×

4 3

3

=

16 3

3

，
又∠A=30°，
∴∠BOC=60°．
∴S_扇形OBC=

60π•42

360

=

8π

3

，
∴S_陰影=S_{四邊形OCDB}-S_扇形OBC=

16 3

3

-

8π

3

．

點評：能夠根據切線的性質定理發現直角三角形，熟練運用HL判定直角三角形全等，能夠把不規則圖形的面積轉化為規則圖形的面積進行計算．