Question

如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是矩形，OA=4，AB=8，直線y=

1

2

x+3與x軸、y軸分別交于E和F，D是CB的中點，G是線段EF（包括端點）上的一點，且GH⊥AB．
（1）由已知可得，點D的坐標為

 

；
（2）設點G的橫坐標為x，四邊形GHBD的面積為S，求S關于x的函數表達式，并注明x的取值范圍；
（3）①若點G在直線EF上移動，是否存在這樣的點G，使D、C、G三點構成的三角形為等腰三角形？若存在，請求出點G的坐標，若不存在，請說明理由；
②若點G在線段EF上移動，求當以GD為直徑的⊙M與AB相切時，四邊形GHBD的面積．

Answer 1

分析：（1）根據矩形的長、寬及D為BC的中點，直接寫出D點坐標；
（2）由已知得G（x，

1

2

x+3），由于x＜0，所以BH=8+x，BD=2，HG=4-（

1

2

x+3）=-

1

2

x+1，根據梯形的面積公式求S的表達式；
（3）①根據GD=GC，GD=DC，CG=CD三種情況，利用線段相等及勾股定理，列方程求解；
②M為DG的中點，根據中點坐標公式得M（

x-8

2

，

1 2 x+3+2

2

），即M（

x-8

2

，

1

4

x+

5

2

），根據4-（

1

4

x+

5

2

）=

1

2

DG，列方程求x，把x的值代入S的表達式中求S．

解答：解：（1）點D的坐標為（-8，2）；

（2）S=

1

2

（BD+HG）•BH=

1

2

（3-

1

2

x）（8+x），即S=-

1

4

x²-

1

2

x+12，（-6≤x≤0）；

（3）①
1）若GD=GC，則

1

2

x+3=1，解得x=-4，
∴G₁（-4，1），
2）若DG=DC，則（x+8）²+（

1

2

x+1）²=4，
∵△＜0，
∴此方程無實根；
3）若CG=CD，則（x+8）²+（

1

2

x+3）²=4，
∴5x²+76x+276=0，x₁=-6，x₂=-9.2，
G₂（-6，0），G₃（-9.2，-1.6），
∴G點坐標為（-4，1），（-6，0），（-9.2，-1.6），；
②∵M（

x-8

2

，

1

4

x+

5

2

），
∴4-（

1

4

x+

5

2

）=

1

2

(x+8)2+( 1 2 x+1)2

，
∴x²+20x+56=0，
∴x=-10±2

11

（舍去負值），
∴S=-

1

4

x²-

1

2

x+12=9

11

-19．

點評：本題考查了一次函數的綜合運用．關鍵是根據矩形的邊長求相關點的坐標，根據梯形的面積公式，等腰三角形的性質，勾股定理求解．