Question

如圖，等邊△OAB和等邊△AFE的一邊都在x軸上，雙曲線y=（k＞0）經過邊OB的中點C和AE的中點D．已知等邊△OAB的邊長為4．
（1）求該雙曲線所表示的函數解析式；
（2）求等邊△AEF的邊長．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點C作CG⊥OA于點G，根據等邊三角形的性質求出OG、CG的長度，從而得到點C的坐標，再利用 待定系數法求反比例函數解析式列式計算即可得解；
（2）過點D作DH⊥AF于點H，設AH=a，根據等邊三角形的性質表示出DH的長度，然后表示出點D的坐標，再把點D的坐標代入反比例函數解析式，解方程得到a的值，從而得解．
解答：解：（1）過點C作CG⊥OA于點G，
∵點C是等邊△OAB的邊OB的中點，
∴OC=2，∠AOB=60°，
∴OG=1，CG=OG•tan60°=1•=，
∴點C的坐標是（1，），
由=，得：k=，
∴該雙曲線所表示的函數解析式為y=；

（2）過點D作DH⊥AF于點H，設AH=a，則DH=a．
∴點D的坐標為（4+a，），
∵點D是雙曲線y=上的點，
由xy=，得（4+a）=，
即：a²+4a-1=0，
解得：a₁=-2，a₂=--2（舍去），
∴AD=2AH=2-4，
∴等邊△AEF的邊長是2AD=4-8．
點評：本題是對反比例函數的綜合考查，包括待定系數法求反比例函數解析式，等邊三角形的性質，解一元二次方程，難度不大，作出輔助線，表示出點C、D的坐標是解題的關鍵．