Question

如圖1，拋物線y=x²的頂點為P，A、B是拋物線上兩點，AB∥x軸，四邊形ABCD為矩形，CD邊經過點P，AB=2AD．
（1）求矩形ABCD的面積；
（2）如圖2，若將拋物線“y=x²”，改為拋物線“y=x²+bx+c”，其他條件不變，請猜想矩形ABCD的面積；
（3）若將拋物線“y=x²+bx+c”改為拋物線“y=ax²+bx+c”，其他條件不變，請猜想矩形ABCD的面積．（用a、b、c表示，并直接寫出答案）
附加題：若將題中“y=x²”改為“y=ax²+bx+c”，“AB=2AD”條件不要，其他條件不變，探索矩形ABCD面積為常數時，矩形ABCD需要滿足什么條件并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設AD=m．得出AB=2m，因為拋物線是軸對稱圖形，求出點A的坐標．然后易求矩形ABCD的面積．
（2）設拋物線y=x²+bx+c．設AD=m，AB=2m，求出點A的坐標為（h-m，n+m），然后可求出矩形ABCD的面積．
（3）設拋物線y=ax²+bx+c，設AD=m，=k得出AB=km，求出矩形ABCD面積的表達式即可推論．
解答：解：（1）設AD=m，
∵AB=2AD，
∴AB=2m，又拋物線是軸對稱圖形，
∴PD=m．
∴點A的坐標為（-m，m），
∴m²=m，
又∵m≠0，
∴m=1
∴矩形ABCD的面積為1×2=2．

（2）設拋物線y=x²+bx+c=（x-h）²+n，
∴點P的坐標為（h，n），
設AD=m，
∵AB=2AD，
∴AB=2m，
又∵拋物線是軸對稱圖形，
∴PD=m，
∴點A的坐標為（h-m，n+m），
∴n+m=（h-m-h）²+n，
∴m=m²，
又∵m≠0，
∴m=1，
∴矩形ABCD的面積為1×2=2．

（3）

附加題：
解：為常數，
設拋物線y=ax²+bx+c=a（x-h）²+n，
∴點P的坐標為（h，n），
設AD=m，=k，
∴AB=km，
又∵拋物線是軸對稱圖形，
∴PD=
∴點A的坐標為（），
∴n+m=a（h--h）²+n，
∴m=，
又∵m≠0，
∴m=，
∴矩形ABCD的面積為km²=
∵a為常數，
∴k為常數時，矩形ABCD的面積為常數，
即為常數時，矩形ABCD的面積為常數．
點評：本題綜合考查了二次函數的相關知識以及矩形ABCD面積的計算公式，難度較大．