Question

如圖：已知在△ABC中，AB=AC，D為BC邊的中點，過點D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F．
（1）求證：△BED≌△CFD；
（2）若∠A=60°，BE=1，求△ABC的周長．

Answer 1

分析：（1）利用等腰三角形的兩個底角相等、全等三角形的判定定理ASA證得△BED≌△CFD；
（2）首先證得△ABC為等邊三角形，然后由等邊三角形的性質、直角△BED中“30°角所對的直角邊是斜邊的一半”求得BD=2BE，則△ABC的周長=3BC．

解答：（1）證明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°．
∵D是BC的中點，
∴BD=CD．
在△BDE與△CDF中，
∵

∠DEB=∠DFC ∠B=∠C BD=CD

，
∴△BDE≌△CDF（AAS）；

（2）解：∵AB=AC，∠A=60°，
∴△ABC是等邊三角形（有一內角為60度的等腰三角形的等邊三角形），
∴AB=BC=CA，∠B=60°；
又∵DE⊥AB（已知），
∴∠EDB=30°，
在直角△BED中，BD=2BE=2（30°角所對的直角邊是斜邊的一半），
∴BC=2BD=4，
∴△ABC的周長=3BC=12．

點評：本題考查了等邊三角形的判定、全等三角形的判定與性質．解答（2）題時，注意挖掘出隱含在題中的已知條件“等邊△ABC的三個內角都是60°，三條邊都相等”．