Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c經過A（-，0）、B（3，0）、C（0，3）三點，線段BC與拋物線的對稱軸相交于D．該拋物線的頂點為P，連接PA、AD、DP，線段AD與y軸相交于點E．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）在平面直角坐標系中是否存在點Q，使以Q、C、D為頂點的三角形與△ADP全等？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由；
（3）將∠CED繞點E順時針旋轉，邊EC旋轉后與線段BC相交于點M，邊ED旋轉后與對稱軸相交于點N，連接PM、DN，若PM=2DN，求點N的坐標（直接寫出結果）．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知拋物線經過的三點坐標，直接利用待定系數法求解即可．
（2）由于點Q的位置可能有四處，所以利用幾何法求解較為復雜，所以可考慮直接用SSS判定兩三角形全等的方法來求解．那么，首先要證明CD=DP，設出點Q的坐標后，表示出QC、QD的長，然后由另兩組對應邊相等列方程來確定點Q的坐標．
（3）根據B、D的坐標，容易判斷出△CDE是等邊三角形，然后通過證△CEM、△DEN全等來得出CM=DN，首先設出點M的坐標，表示出PM、CM的長，由PM=2DN=2CM列方程確定點M的坐標，進一步得到CM的長后，即可得出DN的長，由此求得點N的坐標．
解答：解：（1）設拋物線的解析式為：y=a（x+）（x-3），代入點C（0，3）后，得：
a（0+）（0-3）=3，解得 a=-
∴拋物線的解析式：y=-（x+）（x-3）=-x²+x+3．

（2）設直線BC的解析式：y=kx+b，依題意，有：
，
解得 ．
故直線BC：y=-x+3．
由拋物線的解析式知：P（，4），將點P代入直線BC中，得：D（，2）．
設點Q（x，y），則有：
QC²=（x-0）²+（y-3）²=x²+y²-6y+9、QD²=（x-）²+（y-2）²=x²+y²-2x-4y+7；
而：PA²=（--）²+（0-4）²=28、AD²=（--）²+（0-2）²=16、CD=PD=2；
△QCD和△APD中，CD=PD，若兩個三角形全等，則：
①QC=AP、QD=AD時，
②QC=AD、QD=AP時，
解①、②的方程組，得：、、、；
∴點Q的坐標為（3，4）、（，-2）、（-2，1）或（0，7）．

（3）根據題意作圖如右圖；
由D（，2）、B（3，0）知：DF=2，BF=2；
∴∠BDF=∠ADF=∠CDE=∠DCE=60°，即△CED是等邊三角形；
在△CEM和△DEN中，
∴△CEM≌△DEN，則 CM=DN，PM=2CM=2DN；
設點M（x，-x+3），則有：
PM²=（-x）²+（4+x-3）²=x²-x+4、CM²=x²+x²=x²；
已知：PM²=4CM²，則有：
x²-x+4=4×x²，解得 x=；
∴CM=DN=×x=×=；
則：FN=DF-DN=2-=，
∴點N（，）．
點評：該題的難度較大，涉及到：函數解析式的確定、等邊三角形的判定和性質、圖形的旋轉以及全等三角形的應用等重點知識．在解題時，一定要注意從圖中找出合適的解題思路；能否將瑣碎的知識運用到同一題目中進行解答，也是對基礎知識掌握情況的重點考查．