Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，P為⊙O外一點，且OP∥BC，∠P=∠BAC．
（1）求證：PA為⊙O的切線；
（2）若OB=5，OP=，求AC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證明PA為⊙O的切線，只需證明OA⊥AP；
（2）通過相似三角形△ABC∽△PAO的對應邊成比例來求線段AC的長度．
解答：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠B=90°．
又∵OP∥BC，
∴∠AOP=∠B，
∴∠BAC+∠AOP=90°．
∵∠P=∠BAC．
∴∠P+∠AOP=90°，
∴由三角形內角和定理知∠PAO=90°，即OA⊥AP．
又∵OA是的⊙O的半徑，
∴PA為⊙O的切線；

（2）解：由（1）知，∠PAO=90°．∵OB=5，
∴OA=OB=5．
又∵OP=，
∴在直角△APO中，根據勾股定理知PA==，
由（1）知，∠ACB=∠PAO=90°．
∵∠BAC=∠P，
∴△ABC∽△POA，
∴=．
∴=，
解得AC=8．即AC的長度為8．
點評：本題考查的知識點有切線的判定與性質，三角形相似的判定與性質，得到兩個三角形中的兩組對應角相等，進而得到兩個三角形相似，是解答（2）題的關鍵．