Question

如圖：AB是⊙O的直徑，以OA為直徑的⊙O₁與⊙O的弦AC相交于D，DE⊥OC，垂足為E．
（1）求證：AD=DC；
（2）求證：DE是⊙O₁的切線；
（3）如果OE=EC，請判斷四邊形O₁OED是什么四邊形，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）連OD可得OD⊥AC，又有OA=OC，所以第一問可求解；
（2）證明O₁D⊥DE即可；
（3）如果OE=EC，又D為AC的中點，所以四條邊相等，再根據角之間的關系，即可得出其形狀．
解答：證明：（1）連接OD，
∵AO為圓O₁的直徑，
則∠ADO=90°．
∵AC為⊙O的弦，OD為弦心距，
∴AD=DC．（3分）

（2）∵D為AC的中點，O₁為AO的中點，
∴O₁D∥OC．
又DE⊥OC，
∴DE⊥O₁D
∴DE與⊙O₁相切．（6分）

（3）如果OE=EC，又D為AC的中點，
∴DE∥O₁O，又O₁D∥OE，
∴四邊形O₁OED為平行四邊形．
又∠DEO=90°，O₁O=O₁D，
∴四邊形O₁OED為正方形．（10分）
點評：熟練掌握切線的性質及正方形的判定，會運用其性質進行一些簡單的證明求解問題．