Question

四邊形ABCD的對角線AC、BD的長分別為m、n．可以證明當AC⊥BD時（如圖①），四邊形ABCD的面積S=

1

2

mn．那么當AC，BD所夾的銳角為θ時（如圖②），四邊形ABCD的面積S=（　　）

• A、

  1

  2

  mn
• B、

  1

  2

  mnsinθ
• C、

  1

  2

  mncosθ
• D、

  1

  2

  mntanθ

Answer 1

分析：設AC、BD交于O點，在①圖形中，設BD=m，OA+OC=n，所以S_{四邊形ABCD}=S_△ABD+S_△BDC，由此可以求出四邊形的面積；
在②圖形中，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，由于AC、BD夾角為θ，所以AE=OA•sinθ，CF=OC•sinθ，S_{四邊形ABCD}=S_△ABD+S_△BDC=

1

2

BD•AE+

1

2

BD•CF=

1

2

BD•（AE+CF ），由此可求出面積．

解答：解：如圖，設AC、BD交于O點，在①圖形中，設BD=m，OA+OC=n，
所以S_{四邊形ABCD}=S_△ABD+S_△CBD=

1

2

m•OC+

1

2

m•OA=

1

2

mn；
在②圖形中，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，

由于AC、BD夾角為θ，
所以AE=OA•sinθ，CF=OC•sinθ，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ABD+S_△BDC=

1

2

BD•AE+

1

2

BD•CF=

1

2

BD•（AE+CF ）=

1

2

mnsinθ．
故選B．

點評：本題考查解直角三角形的知識，難度較大，解題時關鍵要找對思路，即原四邊形的高已經發生了變化，只要把高求出來，一切將迎刃而解．