Question

已知實數a，b滿足a²+b²=1，則a⁴+ab+b⁴的最小值為（ ）
A．
B．0
C．1
D．

Answer 1

【答案】分析：利用完全平方公式把a⁴+ab+b⁴配成關于ab的二次三項式，再根據平方數非負數（a-b）²=a²-2ab+b²求出ab的取值范圍，然后根據二次函數的最值問題解答．
解答：解：∵（a-b）²=a²-2ab+b²≥0，
∴2|ab|≤a²+b²=1，
∴-≤ab≤，
令y=a⁴+ab+b⁴=（a²+b²）²-2a²b²+ab=-2a²b²+ab+1=-2（ab-）²+，
當-≤ab≤時，y隨ab的增大而增大，
當≤ab≤時，y隨ab的增大而減小，
故當ab=-時，a⁴+ab+b⁴的最小值，為-2（--）²+=-2×+=0，
即a⁴+ab+b⁴的最小值為0，當且僅當|a|=|b|時，ab=-，此時a=-，b=，或 a=，b=-．
故選B．
點評：本題考查了二次函數的最值問題，完全平方公式，配方成關于ab的形式并求出ab的取值范圍是解題的關鍵．