Question

如圖，在矩形ABCD中，E為AD的中點，EF⊥EC交AB于F，連結FC
（AB＞AE）

【小題1】△AEF與△EFC是否相似？若相似，證明你的結論；若不相似，請說明理由；
【小題2】設＝k，是否存在這樣的k值，使得△AEF∽△BFC，若存在，證明你的結論并求出k的值；若不存在，說明理由

Answer 1

【小題1】如圖，是相似．

延長FE，與CD的延長線交于點G．
在Rt△AEF與Rt△DEG中，
∵　E是AD的中點，
∴　AE＝ED．
∵　∠AEF＝∠DEG，
∴　△AFE≌△DGE．
∴　∠AFE＝∠DGE．
∴　E為FG的中點．
又　CE⊥FG，
∴　FC＝GC．
∴　∠CFE＝∠G．
∴　∠AFE＝∠EFC．
又　△AEF與△EFC均為直角三角形，
∴　△AEF∽△EFC．
【小題2】存在．如果∠BCF＝∠AEF，即k＝＝時，△AEF∽△BCF．
證明：當＝時，＝，
∴　∠ECG＝30°．
∴　∠ECG＝∠ECF＝∠AEF＝30°．
∴　∠BCF＝90°－60°＝30°．
又　△AEF和△BCF均為直角三角形，
∴　△AEF∽△BCF．
因為EF不平行于BC，
∴　∠BCF≠∠AFE．
∴　不存在第二種相似情況解析:
略