Question

【題目】如圖1，點P、Q分別是邊長為4cm的等邊三角形ABC的邊AB、BC上的動點，點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發，且它們的速度都為1cm/s．

（1）連接AQ、CP交于點M，則在P，Q運動的過程中，證明≌；

（2）會發生變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數；

（3）P、Q運動幾秒時，是直角三角形？

（4）如圖2，若點P、Q在運動到終點后繼續在射線AB、BC上運動，直線AQ、CP交點為M，則變化嗎？若變化說明理由，若不變，則求出它的度數。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠CMQ=60°，不變；（3）當第秒或第2秒時，△PBQ為直角三角形；（4）∠CMQ=120°，不變．

【解析】

（1）利用SAS可證全等；

（2）先證△ABQ≌△CAP，得出∠BAQ=∠ACP，通過角度轉化，可得出∠CMQ=60°；

（3）存在2種情況，一種是∠PQB=90°，另一種是∠BPQ=90°，分別根據直角三角形邊直角的關系可求得t的值；

（4）先證△PBC≌△ACQ，從而得出∠BPC=∠MQC，然后利用角度轉化可得出∠CMQ=120°．

（1）證明：在等邊三角形ABC中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°

又由題中“點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發，且它們的速度都為1cm/s.”可知：

AP=BQ

∴≌；

（2）∠CMQ=60°不變

∵等邊三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°

又由條件得AP=BQ，

∴△ABQ≌△CAP(SAS)，

∴∠BAQ=∠ACP，

∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°；

（3）設時間為t，則AP=BQ=t，PB=4-t，

①當∠PQB=90°時，

∵∠B=60°，

∴PB=2BQ，得4-t=2t，t=；

②當∠BPQ=90°時，

∵∠B=60°，

∴BQ=2PQ，得2t=2（4-t），t=2；

∴當第秒或第2秒時，△PBQ為直角三角形；

（4）∠CMQ=120°不變，

∵在等邊三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°，

∴∠PBC=∠ACQ=120°，

又由條件得BP=CQ，

∴△PBC≌△ACQ(SAS)，

∴∠BPC=∠MQC，

又∵∠PCB=∠MCQ，

∴∠CMQ=∠PBC=180°-60°=120°．