Question

（2009•懷化）如圖，在直角梯形OABC中，OA∥CB，A、B兩點的坐標分別為A（15，0），B（10，12），動點P、Q分別從O、B兩點出發，點P以每秒2個單位的速度沿OA向終點A運動，點Q以每秒1個單位的速度沿BC向C運動，當點P停止運動時，點Q也同時停止運動．線段OB、PQ相交于點D，過點D作DE∥OA，交AB于點E，射線QE交x軸于點F．設動點PQ運動時間為t（單位：秒）．
（1）當t為何值時，四邊形PABQ是等腰梯形，請寫出推理過程；
（2）當t=2秒時，求梯形OFBC的面積；
（3）當t為何值時，△PQF是等腰三角形？請寫出推理過程．

Answer 1

【答案】分析：（1）可通過構建直角三角形來求解．過B作BG⊥OA于G，過Q作QH⊥OA于H．可根據勾股定理，求出AB的值，用t表示出QP，讓QP=AB，求出t的值；
（2）有了t的值，即可求出OP，CQ，QB的值，根據平行線段成比例，可以得出AF，進而求出OF的值，這樣就可以求出梯形的面積；
（3）分三種情況進行討論，讓△PQF的三邊兩兩相等，求出t的值．
解答：解：（1）如圖，過B作BG⊥OA于G，
則AB==13．
過Q作QH⊥OA于H，
則QP=．
要使四邊形PABQ是等腰梯形，則AB=QP，
即．
∴t=，或t=5（此時PABQ是平行四邊形，不合題意，舍去）；
∴t=．

（2）當t=2時，OP=4，CQ=10-2=8，QB=2．
∵CB∥DE∥OF，
∴．
∴AF=2QB=2×2=4．
∴OF=15+4=19．
∴S_梯形OFBC=（10+19）×12=174．

（3）①當QP=PF時，則=15+2t-2t，
∴t=或t=．
②當QP=QF時，則=，
即，
∴t=．
③當QF=PF時，則=15，
∴t=或t=-，
綜上，當t=，t=，t=，t=時，△PQF是等腰三角形．
點評：①本題綜合考查了勾股定理的應用，等腰梯形的判定，等腰三角形的判定和平行線分線段成比例等的知識點；
②由于知識點較多，有一定難度；
③要注意的是（3）中要分三種情況進行討論，不可丟掉任何一種．