Question

【題目】如圖1，等邊三角形中，D為邊上一點，滿足，連接，以點A為中心，將射線順時針旋轉60°，與的外角平分線交于點E．

（1）依題意補全圖1；

（2）求證：；

（3）若點B關于直線的對稱點為F，連接．

①求證：；

②若成立，直接寫出的度數為_________°．

Answer 1

【答案】（1）圖見解析；（2）證明見解析；（3）①證明見解析； ②20°．

【解析】

（1）根據題意，射線順時針旋轉60°，用尺規作圖法，做出∠DAE = ∠C = 60°，再連接DE，即完成作圖；

（2）在等邊三角形ABC中,由可得出；由射線繞點A順時針旋轉60°得到射線，可得∠DAE =，進而得出；由平分∠ABC的外角可得，進而推出，由此可證（ASA），再根據三角形全等的性質易證；

（3）①連接，設，根據點B與點F關于直線對稱的性質可得，；由易得；在等邊三角形中， 由，，易證，，又因為，再根據三角形AFC的內角和定理，可推出，和前面的證明聯立可得，所以同旁內角互補，.

②通過圖中各個三角形的內角和之間的關系，設∠BAD=α，通過證明∠CFA=∠COF推論出，即可計算出∠BAD=20°.

（1）依題意補全圖形

（2）證明：

∵是等邊三角形，

∴．

∴．

∵射線繞點A順時針旋轉60°得到射線，

∴．

∴．

∴．

∵，

∴．

∵平分，

∴．

∴．

∴．

∴．

（3）①證明：連接，設，

∵點B與點F關于直線對稱，

∴，．

∵，

∴．

∵等邊三角形中，，

∴

∵，

∴．

∴．

∵，

且，

∴．

∴．

∴．

② 由① 知 ，

∴∠EAF=∠F=

∴∠DAF = α，

∵，由②知BE=CD

∴BD=CF

∴∠CFA=∠COF

∴

∴3α=60°

∴α=20°