Question

【題目】定義：規定max（a，b）＝，例如：max（﹣1，2）＝2，max（3，3）＝3．

感知：已知函數y＝max（x+1，﹣2x+4）

（1）當x＝3時，y＝_____；

（2）當y＝3時，x＝______；

（3）當y隨x的增大而增大時，x的取值范圍為______；

（4）當﹣1≤x≤4時，y的取值范圍為______；

探究：已知函數y＝max（x+2，）當直線y＝m（m為常數）與函數y＝max（x+2，）（﹣6＜x≤3）的圖象有兩個公共點時，m的取值范圍為_______；

拓展：已知函數y＝max（﹣x2+2nx，﹣nx）（n為常數且n≠0），當n﹣3≤x≤2時，隨著x的增大，函數值y先減小后增大，直接寫出n的取值范圍．

Answer 1

【答案】感知：（1）4；（2）2或；（3）x≥1；（4）2≤y≤6；探究：﹣2＜m＜﹣或4＜m≤5；拓展：2≤n＜6或n≤﹣6．

【解析】

感知：（1）利用題中新定義即可得到結果；

（2）利用題中新定義可對y=3所對應的的值進行分類得到兩個方程，分別解方程即可求得結果；

（3）根據一次函數y=x+1和y=2x+4的圖象特征，當y隨x的增大而增大時，取函數y=x+1的圖象部分，依題意可列出不等式，解不等式即可得出結果；

（4）根據題中新定義可列出y關于x的解析式，根據解析式和x的取值范圍即可求得y的取值范圍；

探究：同理（4）可得函數的解析式并畫出圖象，根據題意和圖象即可求得m的取值范圍；

拓展：先求出y=nx和y=﹣x2+2nx的圖象交點，分n的情況可得函數的圖象，再根據圖象性質與題意列出不等式求解即可．

解：感知：（1）當x=3時，y=max(4，2)，

∴y=4，

故答案為：4；

（2）當y=3時，

①當x+1=3，則x=2，此時y=max(3，0)，

②當﹣2x+4=3，則x=，此時y=max(，3)，

故答案為：2或；

(3)∵y隨x的增大而增大，

∴y=x+1，

∴x+1≥﹣2x+4，

∴x≥1，

故答案為：x≥1；

（4）∵max(a，b)=，

當x+1<﹣2x+4時，y=﹣2x+4，此時x<1，

當x+1≥﹣2x+4時，y= x+1，此時x≥1，

∴y=，

∵﹣1≤x≤4，

當﹣1≤x<1時，y=﹣2x+4，此時2<y≤6，

當1≤x≤4時，y=x+1，此時2≤y≤5，

∴2≤y≤6，

故答案為：2≤y≤6；

探究：∵y=max(x+2，)（﹣6<x≤3），

同理（4）得：y=，

如圖所示，實線部分即為其圖象，

由圖象可得：當﹣6<x≤﹣4時，y=m與函數y=max(x+2，)（﹣6<x≤3）的圖象有兩個公共點，則﹣2＜m≤﹣；

當0≤x≤3時，y=m與函數y=max(x+2，)（﹣6＜x≤3）的圖象有兩個公共點，4＜m≤5；

綜上所述：﹣2＜m≤﹣或4＜m≤5，

故答案為：﹣2＜m≤﹣或4＜m≤5；

拓展：y=﹣x2+2nx的對稱軸為x=n，

令﹣x2+2nx=﹣nx，

解得:x=0或x=3n，

∴函數y=﹣x2+2nx與y=﹣nx的交點為(0，0)和(3n，3n2)，

①當n≥2時，如圖1，由圖象可知：0≤x≤2時，函數y=﹣x2+2nx隨x值的增大而增大，

由題意得：n3<0，

∴n＜6，

∴2≤n＜6；

②當n<0時，如圖2，由圖象可得：n﹣3≥n，

∴n≤﹣6；

綜上所述：2≤n＜6或n≤﹣6．