Question

已知a，b，c都是整數，當代數式7a+2b+3c的值能被13整除時，那么代數式5a+7b-22c的值是否一定能被13整除，為什么？

Answer 1

分析：設x，y，z，t是整數，并且假設5a+7b-22c=x（7a+2b+3c）+13（ya+zb+tc），則有7x+13y=52x+13z=7，從而得出y=2，z=1，t=-1，則有13（2a+b-c）-3（7a+2b+3c）=5a+7b-22c，從而得出代數式5a+7b-22c的值能被13整除．
例如：取x=10，則有y=-5，z=-1，t=-4，
則有5a+7b-22c=10（7a+2b+3c）-13（5a+b+4c）
實際上，（2）是一組二元整系數不定方程，
我們先解第一個，得到x=-3+13k，y=2-7k，這里k是任意整數，
將x=-3+13k代入其余方程，解得z=1-2k，t=-1-3k，
這里k是任意整數，
則可以有5a+7b-22c=（-3+13k）（7a+2b+3c）+13[（2-7k）a+（1-2k）b+（-1-3k）c]．

解答：解：設x，y，z，t是整數，
并且假設5a+7b-22c=x（7a+2b+3c）+13（ya+zb+tc）（1）
比較上式a，b，c的系數，
應當有7x+13y=52x+13z=7（2）
3x+13t=-22，取x=-3，
可以得到y=2，z=1，t=-1，
則有13（2a+b-c）-3（7a+2b+3c）=5a+7b-22c（3）
既然3（7a+2b+3c）和13（2a+b-c）都能被13整除，
5a+7b-22c就能被13整除．

點評：本題考查了數的整除性問題，特殊值法是常用的方法．