Question

已知反比例函數y=的圖象經過點A（-，1）．
（1）試確定此反比例函數的解析式；
（2）點O是坐標原點，將線段OA繞O點順時針旋轉30°得到線段OB．判斷點B是否在此反比例函數的圖象上，并說明理由；
（3）已知點P（m，m+6）也在此反比例函數的圖象上（其中m＜0），過P點作x軸的垂線，交x軸于點M．若線段PM上存在一點Q，使得△OQM的面積是，設Q點的縱坐標為n，求n²-2n+9的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于反比例函數y=的圖象經過點A（-，1），運用待定系數法即可求出此反比例函數的解析式；
（2）首先由點A的坐標，可求出OA的長度，∠AOC的大小，然后根據旋轉的性質得出∠AOB=30°，OB=OA，再求出點B的坐標，進而判斷點B是否在此反比例函數的圖象上；
（3）把點P（m，m+6）代入反比例函數的解析式，得到關于m的一元二次方程；根據題意，可得Q點的坐標為（m，n），再由△OQM的面積是，根據三角形的面積公式及m＜0，得出mn的值，最后將所求的代數式變形，把mn的值代入，即可求出n²-2n+9的值．
解答：解：（1）由題意得1=，解得k=-，
∴反比例函數的解析式為y=-；

（2）過點A作x軸的垂線交x軸于點C．
在Rt△AOC中，OC=，AC=1，
∴OA==2，∠AOC=30°，
∵將線段OA繞O點順時針旋轉30°得到線段OB，
∴∠AOB=30°，OB=OA=2，
∴∠BOC=60°．
過點B作x軸的垂線交x軸于點D．
在Rt△BOD中，BD=OB•sin∠BOD=，OD=OB=1，
∴B點坐標為（-1，），
將x=-1代入y=-中，得y=，
∴點B（-1，）在反比例函數y=-的圖象上．

（3）由y=-得xy=-，
∵點P（m，m+6）在反比例函數y=-的圖象上，其中m＜0，
∴m（m+6）=-，
∴m²+2m+1=0，
∵PQ⊥x軸，∴Q點的坐標為（m，n）．
∵△OQM的面積是，
∴OM•QM=，
∵m＜0，∴mn=-1，
∴m²n²+2mn²+n²=0，
∴n²-2n=-1，
∴n²-2n+9=8．
點評：本題綜合考查了運用待定系數法求反比例函數的解析式，旋轉的性質，三角函數的定義，求代數式的值等知識，尤其是在最后一問中，沒有必要求出n的具體值，而是將mn=-1作為一個整體代入，有一定的技巧性，使計算簡便．