Question

如圖，點P是等邊三角形ABC外接圓⊙O上的點，在以下判斷中，不正確的是（ ）
A．當弦PB最長時，△APC是等腰三角形
B．當△APC是等腰三角形時，PO⊥AC
C．當PO⊥AC時，∠ACP=30°
D．當∠ACP=30°時，△BPC是直角三角形

Answer 1

【答案】分析：根據直角是圓中最長的弦，可知當弦PB最長時，PB為⊙O的直徑，由圓周角定理得出∠BAP=90°，再根據等邊三角形的性質及圓周角定理得出AP=CP，則△APC是等腰三角形，判斷A正確；
當△APC是等腰三角形時，分三種情況：①PA=PC；②AP=AC；③CP=CA；確定點P的位置后，根據等邊三角形的性質即可得出PO⊥AC，判斷B正確；
當PO⊥AC時，由垂徑定理得出PO是AC的垂直平分線，點P或者在圖1中的位置，或者與點B重合．如果點P在圖1中的位置，∠ACP=30°；如果點P在B點的位置，∠ACP=60°；判斷C錯誤；
當∠ACP=30°時，點P或者在P₁的位置，或者在P₂的位置．如果點P在P₁的位置，易求∠BCP₁=90°，△BP₁C是直角三角形；如果點P在P₂的位置，易求∠CBP₂=90°，△BP₂C是直角三角形；判斷D正確．
解答：解：A、如圖1，當弦PB最長時，PB為⊙O的直徑，則∠BAP=90°．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°，AB=BC=CA，
∵點P是等邊三角形ABC外接圓⊙O上的點，
∴BP⊥AC，
∴∠ABP=∠CBP=∠ABC=30°，
∴AP=CP，
∴△APC是等腰三角形，
故本選項正確，不符合題意；
B、當△APC是等腰三角形時，分三種情況：
①如果PA=PC，那么點P在AC的垂直平分線上，則點P或者在圖1中的位置，或者與點B重合（如圖2），所以PO⊥AC，正確；
②如果AP=AC，那么點P與點B重合，所以PO⊥AC，正確；
③如果CP=CA，那么點P與點B重合，所以PO⊥AC，正確；
故本選項正確，不符合題意；
C、當PO⊥AC時，PO平分AC，則PO是AC的垂直平分線，點P或者在圖1中的位置，或者與點B重合．
如果點P在圖1中的位置，∠ACP=30°；
如果點P在B點的位置，∠ACP=60°；
故本選項錯誤，符合題意；
D、當∠ACP=30°時，點P或者在P₁的位置，或者在P₂的位置，如圖3．
如果點P在P₁的位置，∠BCP₁=∠BCA+∠ACP₁=60°+30°=90°，△BP₁C是直角三角形；
如果點P在P₂的位置，∵∠ACP₂=30°，
∴∠ABP₂=∠ACP₂=30°，
∴∠CBP₂=∠ABC+∠ABP₂=60°+30°=90°，△BP₂C是直角三角形；
故本選項正確，不符合題意．
故選C．
點評：本題考查了等邊三角形的性質，三角形的外接圓與外心，圓周角定理，垂徑定理，難度適中，利用數形結合、分類討論是解題的關鍵．