Question

如圖，點C將線段AB分成兩部分，如果，那么稱點C為線段AB的黃金分割點．某研究小組在進行課題學習時，由黃金分割點聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S₁，S₂，如果，那么稱直線l為該圖形的黃金分割線．

(1)研究小組猜想：在△ABC中，若點D為AB邊上的黃金分割點(如圖2)，則直線CD是△ABC的黃金分割線．你認為對嗎？為什么？

(2)請你說明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？

(3)研究小組在進一步探究中發(fā)現(xiàn)：過點C任作一條直線交AB于點E，再過點D作直線DF∥CE，交AC于點F，連接EF(如圖3)，則直線EF也是△ABC的黃金分割線．

請你說明理由．

(4)如圖4，點E是□ABCD的邊AB的黃金分割點，過點E作EF∥AD，交DC于點F，顯然直線EF是□ABCD的黃金分割線．請你畫一條□ABCD的黃金分割線，使它不經(jīng)過□ABCD各邊黃金分割點．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)直線是的黃金分割線．理由如下：

　　設的邊上的高為．

　　，，，

　　所以，，．　　2分

　　又因為點為邊的黃金分割點，所以有．因此．

　　所以，直線是的黃金分割線．　　4分

　　(2)因為三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，此時，即

　　，所以三角形的中線不可能是該三角形的黃金分割線．　　6分

　　(3)因為，所以和的公共邊上的高也相等，

　　所以有．　　7分

　　設直線與交于點．所以．

　　所以

　　，．

　　又因為，所以．　　9分

　　因此，直線也是的黃金分割線．　　10分

　　(4)畫法不惟一，現(xiàn)提供兩種畫法；　　12分

　　畫法一：如答圖1，取的中點，再過點作一條直線分別交，于，點，則直線就是的黃金分割線．

　　畫法二：如答圖2，在上取一點，連接，再過點作交于點，連接，則直線就是的黃金分割線．