Question

【題目】問題探究：
如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A、D、E在同一直線上，連接BE．

（1）證明：AD=BE；
（2）求∠AEB的度數．
（3）如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE．（Ⅰ）請求出∠AEB的度數；（Ⅱ）判斷線段CM、AE、BE之間的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，

∴∠ACB=∠DCE=60°，CA=CB，CD=CE，

∴∠ACD=∠BCE，

在△CDA和△CEB中，

，

∴△CDA≌△CEB，

∴AD=BE

（2）

解：∵△CDA≌△CEB，

∴∠CEB=∠CDA=120°，

又∠CED=60°，

∴∠AEB=120°﹣60°=60°

（3）

解：（Ⅰ）∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，

∠ACB=∠DCE=90°，

∴AC=BC，CD=CE，

∠ACB=∠DCB=∠DCE﹣∠DCB，

即∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE，

∴AD=BE，∠BEC=∠ADC=135°．

∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=135°﹣45°=90°；

（Ⅱ）AE=2CM+BE，

在等腰直角三角形DCE中，CM為斜邊DE上的高，

∴CM=DM=ME，

∴DE=2CM．

∴AE=DE+AD=2CM+BE

∴AE=2CM+BE

【解析】問題探究：（1）證明△CDA≌△CEB，根據全等三角形的性質解答；（2）根據全等三角形的性質得到∠CEB=∠CDA=120°，計算即可；
問題變式：（Ⅰ）證明△CDA≌△CEB，根據全等三角形的性質解答；（Ⅱ）根據全等三角形的性質、直角三角形的性質解答．