Question

（1）如圖1，拋物線C₁：y=ax²+bx+c的開口向下，頂點為D點，與y軸交于點，且經過A（-1，0），B（3，0）兩點，若△ABD的面積為8．
①求拋物線C₁的解析式；
②Q是拋物線C₁上的一個動點，當△QBC的內心落在x軸上時，求此時點Q的坐標；
（2）如圖2，將（1）中的拋物線C₁向右平移t（t＞0）個單位長度，得到拋物線C₂，頂點為E，拋物線C₁、C₂相交于P點，設△PDE的面積為S，判斷是否為定值？請說明理由．

Answer 1

解：（1）①∵拋物線C₁經過A（-1，0），B（3，0）兩點，
∴y=a（x+1）（x+3）=a（x-1）²-4a，（1分）
∴D（1，-4a），
∵AB=4，S_△ABD=8，
∴-4a=4，
∴a=-1，（2分）
所以拋物線C₁為：y=-x²+2x+3，（3分）
②點C（0，3），
∵OC=OB=3，∠BOC=90°，
∴∠OBC=45°，
過B作∠ABQ=45°交y軸于M，交拋物線C₁于Q點，
則△QBC的內心落在x軸上，（4分）．
如圖1：M（-3，0），直線BQ為：y=x-3，（5分）
設Q（n，-n²+2n+3），則-n²+2n+3=n-3，（6分）
解得：n₁=-2，n₂=3，（不合題意舍去）
所以Q（-2，-5）；（7分）


（2）過P作PN∥x軸與拋物線C₁另一交點記為N，連接DN，過P作直線PH⊥DE于H，
如圖2：由平移得：DN與PE平行且相等
由拋物線的對稱性得：PD=DN，
∴PD=DE，△PDE是等腰三角形（8分）
（注：沒有證等腰不扣分）
∴點H是DE的中點，
∴H（t+1，4），（9分）
當x=t+1時，y=-t²+4，
∴P（t+1，-t²+4），（10分）
∴PH=4-（-t²+4）=t²，（11分）
又∵DE=t，
∴為定值．（12分）
分析：（1）①由拋物線C₁經過A（-1，0），B（3，0）兩點，即可采用兩點法設拋物線C₁的解析式為y=a（x+1）（x+3），又由AB=4，S_△ABD=8，即可求得a的值，求得拋物線C₁的解析式；
②首先由OC=OB=3，∠BOC=90°，求得∠OBC的度數，然后過B作∠ABQ=45°交x軸于M，交拋物線C₁于Q點，即可求得直線BQ的解析式，然后借助于方程即可求得點Q的坐標；
（2）首先過P作PN∥x軸與拋物線C₁另一交點記為N，連接DN，過P作直線PH⊥DE于H，由平移，易證得△PDE是等腰三角形，然后由點H是DE的中點，求得H與P的坐標，則問題得解．
點評：此題考查了二次函數的綜合應用，等腰三角形的性質，直角三角形的性質等知識．此題綜合性很強，難度很大，解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的應用．